LGS homogen ist Untergruppe

Question

Aufgabe:

Es sei \( K \) ein Körper und \( A \in K^{m \times n} \) eine \( m \times n \)-Matrix über K. Zeigen Sie:

(a) Die Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems \( A x=0 \) ist eine Untergruppe \( H \) von \( K^{n} \).

(b) Für jedes \( b \in K^{m} \) ist die Lösungsmenge des inhomogenen Gleichungssystems \( A x=b \) entweder die leere Menge oder eine Nebenklasse von \( H \).

Answer 1

a) Die Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems \( A x=0 \) ist eine Untergruppe \( H \) von \( K^{n} \) bezüglich der Addition in \( K^{n} \)

1. abgeschlossen: Sind x und y aus  der Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems \( A x=0 \) dann gilt

\( A x=0 \)  und \( A y=0 \)  also auch \( A x+A y=0 \) und

damit \( A (x+ y)=0 \) somit x+y aus der Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems \( A x=0 \)

2. Assoziativität gilt allgemein für ( K^{n} , + \).

3. neutrales El. ist der Nullvektor, der ist auch in der Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems \( A x=0 \)

4. und mit jedem x auch jedes -x .

Also alle Gruppenaxiome erfüllt.

b) Wenn die Lösungsmenge des inhomogenen Gleichungssystems \( A x=b \)

nicht leer ist, und x und y aus der Lösungsmenge sind

dann gilt ja \( A x=b \) und \( A y=b \) , also b-a aus H, somit

x und y aus der gleichen Nebenklasse.