Aufgabe:
Unter der Voraussetzung, dass der Erwartungswert von einer \( \mathbb{N}_{0} \)- wertigen Zufallsvariable \( X \) existiert, soll gezeigt werden:\(\mathbb{E}[X]=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(X \geq n) .\)
Vom Duplikat:
Titel: Erwartungswert, Herleitung als Summe
Stichworte: herleitung,erwartungswert,wahrscheinlichkeit
Hallo mathelounge,
ich muss bei meiner aktuellen Aufgabe zeigen, dass E(X) = i= 0 ∑ ∞ P({ X ≥ i })
gilt, habe aber leider keinen Ansatz dafür, könnte mir jemand helfen?
X soll eine ℕ-wertige Zufallsvariable sein.
Hallo,
wir gehen mal vorsichtig die Reihe für den Erwartungswert an:
$$\sum_{i=1}^n ip_i=\sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^i1\right)p_i=\sum_{j=1}^n\sum_{i=j}^np_i=\sum_{j=1}^nP(j\leq X\leq n)$$
Jetzt können wir n gegen Unendlch konvergieren lassen und sehen die Behauptung.
Ein anderes Problem?
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