sin(x) Taylorreihe bilden -> x0= -3pi/2

Question

Entwickle an der Stellle x = - \( \frac{3π}{2} \) in eine Taylorreihe

Lösung:

sinx = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \)  \( \frac{-1^n}{2n!} \) * (x+ 3π/2) ²ⁿ

Ich weiß, dass die Formel lautet:

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \) \( \frac{f^n (x0)}{n!} \) * (x-x0) ⁿ

Ich verstehe irgendwie nicht warum es 2n sind

wie kommt man auf die 2 und warum -1 und nicht 1?

Also ich verstehe den Bruch und die Potenzen nicht

Comments

Was sind denn die Ableitungen von sin(x)? Und welchen Wert nehmen diese Ableitungen an der Stelle x_0 an?

Answer 1

f(x)=sin(x)    f'(x)=cos(x)     f''(x)=-sin(x)   f'''(x)=-cos(x) etc.

Und es ist cos( -\( \frac{3π}{2} \)) = 0 also fallen die

Summanden mit ungeradem Index in der Taylorreihe alle weg.

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{f^k (x0)}{k!} \cdot(x-x_0)^k \)

und zu jedem geraden k gibt es ja ein n, so dass k=2n ist, also

kannst du schreiben

\( \sum\limits_{0=0}^{\infty} \frac{f^{2n} (x0)}{(2n)!} \cdot(x-x_0)^{2n}  \)

Und die Ableitungen mit geradem Index sind, wenn man das xo einsetzt,

immer abwechseln 1 oder -1, also kannst du deren Wert mit (-1)^n

beschreiben. Bei deiner Lösung fehlten da nur die Klammern um die -1.