Zeige, dass f zweimal stetig differenzierbar ist und berechne die Hessesche Matrix.

Question

Aufgabe:

Sei f : (0, ∞) × ℝ × ℝ → ℝ gegeben durch f (x, y, z) = 2x^y(1 + z).

Zeige, dass f zweimal stetig differenzierbar ist und berechne die Hessesche Matrix.

Könnte jemand helfen? Die zweimalige Differenzierbarkeit ist ja eigentlich durch die existenz der Hessematrix bewiesen, wenn ich mich nicht irre.

Comments

Ja, wenn man eine Funktion regelgerecht differenzieren kann, dann ist weiter nichts zu zeigen.

Answer 1

Aloha :)

Wenn du eine Funktion mit den gängigen Mitteln der Differentialrechnung differenzieren kannst und die Ableitung überall dort definiert ist, wo auch die ursprüngliche Funktion definiert ist, dann hast du auch die Differenzierbarkeit gezeigt. Du hast die Funktion ja dann differenziert ;)

Beachte bei der Berechnung, dass die Hesse-Matrix symmetrisch ist. Hier zur Kontrolle:$$H(x;y)=2x^{y-2}\left(\begin{array}{c}(y-1)y(z+1) & x(z+1)(y\ln(x)+1) & xy\\x(z+1)(y\ln(x)+1) & x^2(z+1)\ln^2(x) & x^2\ln(x)\\xy & x^2\ln(x) & 0\end{array}\right)$$