Wie prüfe ich ob ein bestimmter Vektor ein Fundamentalsystem eines DGL- Systems ist?

Question

Text erkannt:

Gegeben sei das reelle lineare Differentialgleichungssystem
$\dot{\vec{x}}=\left(\begin{array}{cc} 3 t^{-1} & -t^{-3} \\ 0 & 4 t^{-1} \end{array}\right) \vec{x}(t)+\left(\begin{array}{c} t^{2} \\ t^{5} \sin (\pi t) \end{array}\right) \text {, }$
sowie die Vektoren
$\vec{x}_{1}(t)=\left(\begin{array}{c} t^{3} \\ 0 \end{array}\right), \quad \vec{x}_{2}(t)=\left(\begin{array}{c} t^{2} \\ t^{4} \end{array}\right)$

Ich soll herausfinden ob die angegebenen Vektoren ein Fundamentalsystem für das gegebene DGL-System ist. Ich kenne das nur mit Konstanten in einer anderen Form und habe nichts gefunden bezüglich Variablen und einem DGL-System das so aussieht. Wie muss ich auf so eine Aufgabe herangehen? Ich stehe hier echt auf dem Schlauch

Vielen Dank im voraus.

Answer 1

Hallo,

Betrachte den homogenen Teil:

x1=t³ +t²

x1'=3t² +2t

x2=t⁴

x2'=4t³

--->einsetzen in:

x1'= (3/t) x1 -(1/t³)x2

3t² +2t =3t²+3t -t

3t² +2t =3t²+2t ->stimmt

------------------------------------

x2'= (4/t) x2

4t³=(4/t)  *t⁴

4t³= 4t³ ->stimmt

Comments

Oh wow. Ich hab da wohl sehr kompliziert gedacht. Viel einfacher als erwartet, vielen dank