Bestimmen Sie für die nilpotente Matrix A=(\begin{array}{ccc}1 ℝ) derart, dass S^{-1} A S echte obere …

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bestimmen Sie für die nilpotente Matrix \( A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -2\end{array}\right) \in \) Mat \( (3 ; \mathbb{R}) \) eine invertierbare Matrix \( S \in \mathrm{GL}(3 ; \mathbb{R}) \) derart, dass \( S^{-1} A S \) echte obere Dreiecksgestalt hat, indem Sie...

Text erkannt:

\( \ldots \) Unterräume \( \{0\}=U_{0} \subsetneq U_{1} \subsetneq U_{2} \subsetneq U_{3}=\mathbb{R}^{3} \) mit \( A \cdot U_{i} \subseteq U_{i-1} \) für alle \( i=1,2,3 \) finden.

Problem/Ansatz:

Wie findet man die Unterräume?

Answer 1

Wie findet man die Unterräume? So:

\(U_2 \) ist doch einfach nur das Bild der zu A

gehörigen lin. Abb. Also

\(U_2 =  < \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1\\1\\-2 \end{pmatrix} > \)

Die Elemente sehen also alle so aus

\(U_2 =  \{  \begin{pmatrix} a-b\\2a+b\\-a-2b \end{pmatrix}| a,b \in \mathbb{R} \} \)

Und A mal so ein Element gibt

\(U_1 =  \{  \begin{pmatrix} 0\\3(a-b)\\3(a-b) \end{pmatrix}| a,b \in \mathbb{R} \} \)

also \(U_2 =  < \begin{pmatrix} 0\\3\\3 \end{pmatrix} > \)