LGS, hinreichende Bedingung für Existenz genau einer Lösung

Question

Es sei das LGS in der Form

\( x_{i}=\sum \limits_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j}+b_{i} \quad(i=1, \ldots, n) \)

gegeben mit a_{i j}, b_i ∈ R (i, j = 1,...,n).

Zeige, dass die Bedingung

\( \sum \limits_{i, j=1}^{n} a_{i j}^{2}<1 \)

hinreichend ist für die Existenz genau einer Lösung.

Weiß jemand, warum das so ist?

Answer 1

Es ist \(\sum_{i,j=1}^n a_{ij}^2=\|A\|_F^2\), wobei \(\|.\|_F\) die Frobeniusnorm ist.

Da dies eine zur euklidischen Vektornorm kompatible

Matrixnorm ist gilt für jeden Eigenwert \(\lambda\) von \(A\):

\(|\lambda| \leq \|A\|_F\), Nach unseren Voraussetzugen also

\(|\lambda|< 1\), d.h. insbesondere ist 1 kein Eigenwert von \(A\) und

somit \(1\cdot E_n-A\) invertierbar, d.h. das LGS

\(x=A\cdot x+b\) hat genau eine Lösung.