b) (3 P.) Schätzung von \( J_{0} \) und \( \mu \):
\( J=J_{0} e^{-\mu d} \) linearisieren: \( \ln J=\ln J_{0}-\mu \cdot d \)
Substitutionen: \( z=\ln J, c=\ln J_{0}, m=-\mu \)
linearer Regressionsansatz: \( z=c+m \cdot d \)
Datentabelle modifizieren:
| \( d_{i} \) | 0,0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1,0 |
| \( z_{i} \) | 0,69 | 0,64 | 0,18 | 0,18 | 0,34 | \( -0,22 \) | \( -0,11 \) | \( -0,11 \) | \( -0,92 \) | \( -0,69 \) | \( -0,92 \) |
\( \sum \limits_{i=1}^{n} d_{i}=5,5 \quad \sum \limits_{i=1}^{n} d_{i}^{2}=3,85 \) von a übernehmen
\( \sum \limits_{i=1}^{n} z_{i}=-0,94 \quad \sum \limits_{i=1}^{n} d_{i} \cdot z_{i}=-2,24 \)
\( m=\frac{\sum \limits_{i=1}^{n} d_{i} \cdot z_{i}-\frac{1}{n} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} d_{i} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} z_{i}}{\sum \limits_{i=1}^{n} d_{i}^{2}-\frac{1}{n} \cdot\left(\sum \limits_{i=1}^{n} d_{i}\right)^{2}}=\frac{-2,24-\frac{1}{11} \cdot 5,5 \cdot(-0,94)}{3,85-\frac{1}{11} \cdot 5,5^{2}}=-1,6 \overline{09} \)
\( c=\frac{1}{n} \cdot\left(\sum \limits_{i=1}^{n} z_{i}-m \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} d_{i}\right)=\frac{1}{11} \cdot(-0,94-(-1,6 \overline{09} \cdot 5,5)=0,71 \overline{90} \)
lineare Regressionsfunktion: \( z=0,71 \overline{90}-1,6 \overline{09} \cdot d \)
\( J_{0}=e^{c}=e^{0,71 \overline{90}}=2,052566393 \approx 2,0526 \)
\( \mu=-m=1,6 \overline{09} \)
nichtlineare Regressionsfunktion: \( J=2,0526 \cdot e^{-1,6 \overline{09} \cdot d} \)
(3. zeile) da wird ja gezeigt, dass -μ=m und m wird unten ausgerechnet. doch in der tabelle sollte z ausgerechnet werden(untere zeile) und dann stimmt das ergebnis nicht...ist das vielleicht wieder eine konstante, die ich aus einer tabelle auslesen soll?
