Einfaches Beispiel für 2x2 Matrix

Question

Gibt es eine Matrix $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ mit $\operatorname{dim}(\operatorname{Bild}(A))=\operatorname{dim}(\operatorname{Kern}(A))=1 ?$
Begründen Sie oder geben Sie ein möglichst einfaches Beispiel an.

Meine Begründung :

nach Dimensionssatz (dim(Kern)+dim(bild)=n) muss eine Matrix existieren da 1+1=2

Answer 1

nach Dimensionssatz (dim(Kern)+dim(bild)=n) muss eine Matrix existieren

Nein.

Nach Dimensionssatz gilt $\dim(\operatorname{Kern} A) + \dim(\operatorname{Bild} A) = n$.

Der Dimensionssatz sagt aber nichts darüber aus, zu welchen $m < n$ eine $n\times n$-Matrix $A$ existiert, so dass $\dim(\operatorname{Kern} A) = m$ und $\dim(\operatorname{Bild} A) = n-m$ ist.

Immerhin widerspricht der Dimensionssatz aber nicht der Forderung $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ mit $\operatorname{dim}(\operatorname{Bild}(A))=\operatorname{dim}(\operatorname{Kern}(A))=1$. Also ist es nicht ganz hoffnungslos, sich auf die Suche nach einer entsprechenden Matrix zu begeben.

Answer 2

Betrachte eine 2x2-Matrix mit Rang=1.
Was sagt der Dimensionssatz für lineare Abbildungen
hierzu?