Indexverschiebung beim Sigma

Question

Aufgabe:

$$ \sum \limits_{i=s+1}^{\ n}\frac{1}{i-1}=\sum \limits_{i=2}^{\ n}\frac{1}{i-1}-\sum \limits_{i=2}^{\ s}\frac{1}{i-1}=\sum \limits_{i=1}^{\ n-1}\frac{1}{i}-\sum \limits_{i=1}^{\ s-1}\frac{1}{i}$$

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand anschaulich erklären,warum im zweiten Schritt subtrahiert wird und wie man im dritten Schritt auf den Bruch \( \frac{1}{i} \) kommt ? Habe mit Indexverschiebungen leider immer noch Probleme.

Answer 1

Wenn der erste Summand den Index s+1 hat, kann man das Aufsummieren bereits beim Index 2 beginnen, muss aber die zuviel gezählten Summanden (2 bis s) davon subtrahieren.

Dann hat man bei beiden Summanden die Indexverschiebung durchgenommen.

Der Startindex wurde von 2 auf 1 abgesekt, zum Ausgleich muss im Nenner i-1 auf i erhöht werden.