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Aufgabe 4 (6 Punkte). Bestimmen Sie die Ableitungsfunktionen der folgenden Funktionen und geben Sie dabei immer Ihren Lösungsweg an.
(i) \( f(x):=\frac{e^{x^{2}}-1}{e^{x^{2}}+1} \) für \( x \in \mathbb{R} \),
(ii) \( g(x):=\log (x \log x) \) für \( x>1 \),
(iii) \( h(x):=\frac{1}{2} \arctan \left(\frac{2 x}{1-x^{2}}\right) \) für \( x \in \mathbb{R} \backslash\{-1,1\} \).

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Aloha :)

zu i) Hier hilft die Kettenregel:$$f(x)=\frac{e^{x^2}\green{-1}}{e^{x^2}+1}=\frac{(e^{x^2}\green{+1})\green{-2}}{e^{x^2}+1}=1-\frac{2}{e^{x^2}+1}=1-2\left(\pink{e^{x^2}+1}\right)^{-1}$$$$f'(x)=2\left(\pink{e^{x^2}+1}\right)^{-2}\cdot\pink{e^{x^2}\cdot2x}=\frac{4xe^{x^2}}{(e^{x^2}+1)^2}$$

zu ii) Auch das ist ein Patient für die Kettenregel:$$g(x)=\log(x\cdot\log x)=\log x+\log(\pink{\log x})$$$$g'(x)=\frac1x+\frac{1}{\pink{\log x}}\cdot\pink{\frac1x}=\frac1x\left(1+\frac{1}{\log x}\right)=\frac{\log x+1}{x\log x}$$

zu iii) Und nochmal kommt die Kettenregel zur Anwendung.

Wir überlegen uns zuerst die Ableitung von \(y=\arctan(x)\), indem wir sie auf die Ableitung der Umkehrfunktion \(x=\tan y\) zurückführen:$$\left(\arctan x\right)'=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\frac{d}{dy}\left(\frac{\sin y}{\cos y}\right)}=\frac{1}{\frac{\cos^2y+\sin^2y}{\cos^2y}}=\frac{1}{1+\tan^2y}=\frac{1}{1+x^2}$$

Für die innere Ableitung brauchst du zusätzlich die Quotientenregel:$$h(x)=\frac12\arctan\left(\pink{\frac{2x}{1-x^2}}\right)$$$$h'(x)=\frac12\cdot\frac{1}{1+\left(\pink{\frac{2x}{1-x^2}}\right)^2}\cdot\pink{\frac{2\cdot(1-x^2)-2x\cdot(-2x)}{(1-x^2)^2}}=\frac{1}{1+\frac{4x^2}{(1-x^2)^2}}\cdot\frac{1+x^2}{(1-x^2)^2}$$$$\phantom{h'(x)}=\frac{1+x^2}{(1-x^2)^2+4x^2}=\frac{1+x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{1}{1+x^2}$$

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I) Für das Plagiat sehen wir uns vor Gericht. Streitwert: 0,01 Euro

:))

Wenn eine Idee so offensichtlich ist, handelt es sich um eine sog. "kreative Neuschöpfung"...

Außerdem ist halbe Arbeit keine Arbeit ;)

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1. = 1 - 2/(e^(x^2)+1) = 1-2*(e^(x^2)+1))^-1

Damit sollte es leichter gehen.


2. Verwende:

f(x) = log g(x) -> f '(x) = g'(x)/g(x)

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\( f(x)=\frac{e^{x^{2}}-1}{e^{x^{2}}+1} \)

Ableitung mit der Quotientenregel:  \( \frac{Z´*N-Z*N´}{N^2} \)

\( Z´=e^{x^2}*2x \)

\( N´=e^{x^2}*2x \)

\( f´(x)=\frac{e^{x^2}*2x*(e^{x^{2}}+1)-(e^{x^{2}}-1)*e^{x^2}*2x }{(e^{x^{2}}+1)^2}   \)

\( f´(x)=\frac{e^{x^2}*2x*2}{(e^{x^{2}}+1)^2} =\frac{e^{x^2}*4x}{(e^{x^{2}}+1)^2} \)

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