Taylorpolynom rechnung prüfen

Question

Aufgabe:

Taylorpolynom

Könnt ihr bitte rüberschauen ob das ergebnis so richtig ist.

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}f(x)=2 x^{2}+1+\cos \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)=1 \quad T_{(3,9} \\ f^{\prime}(x)=4 x+-2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)=-2 \\ f^{\prime \prime}(x) 4-4 \cos \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)=4 \\ f^{\prime \prime \prime}(x) 8 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)=8 \\ T_{n}=f\left(x_{0}\right)+\frac{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}{1 !} \cdot\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{2}+\frac{f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right.}{3 !} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{3} \\ =1+\frac{-2}{1 !} \cdot(x-0)^{1}+\frac{4}{2 !} \cdot(x-0)^{2}+\frac{8}{3 !} \cdot(x-0)^{3} \\ =1+2 x+2 x^{2}+\frac{8}{6} x^{3}\end{array} \)

Sehe gerade am ende das vorzeichen von der 2 ist falsch es sollte -2 sein

Problem/Ansatz:

Comments

Ich hab eine weitere frage wie wähle ich xi aus für die fehlerschätzung.

Gegeben ist x ∈ [-0.5, 0.5]

Answer 1

Aloha :)

Du kannst das mit den ersten Gliedern der Potenzreihe für die Sinus-Funktion$$\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}\blue{+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}\pm\cdots}$$schnell selbst überprüfen:$$\cos\left(2x+\frac\pi2\right)=-\sin(2x)\approx -\left((2x)-\frac{(2x)^3}{3!}\right)=-2x+\frac{4}{3}x^3$$Dazu dann noch der Term \((2x^2+1)\) vor der Cosinus-Funktion liefert:$$2x^2+1+\cos\left(2x+\frac\pi2\right)\approx1-2x+2x^2+\frac{4}{3}x^3$$

Das hast du fast raus. Du hast nur das Minuszeichen vor der \(2\) verschlampt und \(\frac86\) nicht gekürzt.