Aloha :)
Die kritischen Punkte der Funktion$$f(x;y)=\frac12x^2+3y^3+9y^2-3xy-6x$$sind die Nullstellen des Gradienten$$\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{x-3y-6}{-3x+9y^2+18y}\stackrel!=\binom{0}{0}$$Aus der Gleichung für die erste Koordinate folgt$$0=x-3y-6\implies \pink{x=3y+6}$$Das setzen wir in die Gleichung für die zweite Koordinate ein:$$0=-3(\pink{3y+6})+9y^2+18y=9y^2+9y-18=9(y-1)(y+2)\implies$$$$y=1\;\lor\;y=-2$$Damit haben wir zwei kritische Punkte gefunden:$$P_1(9|1)\quad;\quad P_2(0|-2)$$
Um zu entscheiden, ob es sich bei diesen Punkten um Extrema handelt, untersuchen wir die Definitheit der Hesse-Matrix:$$H(x;y)=\left(\begin{array}{cc}1 & -3\\-3 & 18(y+1)\end{array}\right)\implies$$$$H(9;1)=\left(\begin{array}{cc}1 & -3\\-3 & 36\end{array}\right)\quad;\quad H(0;-2)=\left(\begin{array}{cc}1 & -3\\-3 & -18\end{array}\right)$$
\(H(9;1)\) hat die Hauptminoren \(1\) und \(27\), sie sind beide positiv, sodass die Hesse-Matrix positiv definit ist.
Die Funktion hat also ein Minimum bei \(P_1(9|1)\).
\(H(0;-2)\) hat unterschiedliche Vorzeichen auf der Hauptdiagonale und ist daher indefinit.
Der andere Kandidat \(P_2(0|-2)\) ist ein Sattelpunkt.
Da die Funktion keine weiteren kritsichen Punkte hat, kann es keine weiteren inneren lokalen Extrema geben. Da die Funktion für ganz \(\mathbb R^2\) definiert ist, kann es auch keine Randextrema am Rand des Definitionsbereichs geben. Daher ist \(P_1(9|1)\) sogar das globale Minimum.
Merke:
1) Wenn alle Hauptminoren positiv sind, ist die Hesse-Matrix positiv definit.
2) Wenn die Hauptminoren abwechselnd negativ und positiv sind, ist die Hesse-Matrix negativ definit.
3) Wenn auf der Hauptdiagonalen unterschiedliche Vorzeichen auftauchen, ist die Hesse-Matrix indefinit.
