Es sei f Element C^0 ([0,1]) nichtnegativ.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

(a) Es sei \( f \in C^{0}([0,1]) \) nichtnegativ. Zeigen Sie, dass ein \( x \in[0,1] \) existiert mit \( f(x) \leq \int \limits_{0}^{1} f(s) \mathrm{d} s \).
(b) Zeigen Sie
\( |f(x)-f(y)| \leq|x-y|^{\frac{p-1}{p}}\left(\int \limits_{0}^{1}\left|f^{\prime}(s)\right|^{p} \mathrm{~d} s\right)^{\frac{1}{p}} \)
für alle \( x, y \in[0,1], p \in(1, \infty) \) und \( f \in C^{1}([0,1]) \).
(c) Es seien \( p \in(1, \infty), M>0 \) und
\( \mathcal{F}:=\left\{f \in C^{1}([0,1])\left|\int \limits_{0}^{1}\right| f(x) \mid \mathrm{d} x \leq M \text { und } \int \limits_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right|^{p} \mathrm{~d} x \leq M\right\} \subseteq C^{0}([0,1]) . \)
Zeigen Sie, dass zu jeder Folge \( \left(f_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \subseteq \mathcal{F} \) eine Teilfolge \( \left(f_{k_{j}}\right)_{j \in \mathbb{N}} \) existiert, die gleichmäßig gegen ein \( f \in C^{0}([0,1]) \) konvergiert.

Problem/Ansatz:

Auch zu dieser Aufgabe habe ich meine Schwierigkeiten. Über Ansätze und Hilfe wäre ich dankbar.

Answer 1

(a) Was wäre, wenn es kein solches \( x\) gäbe? Integriere beide Seiten.

(b)
\(\begin{aligned} \left| f( x)  - f( y) \right| = \left| \int_{ y}^{ x} f'( t) \, dt \right| &\leqslant \int_{ y}^{ x} \left| f'( t) \right| \, dt \\ &\stackrel{( *) }{\leqslant } \left( \int_{ y}^{ x} \left| f'( t) \right| ^{ p}\, dt \right)^{ 1 / p} \left( \int_{ y}^{ x} 1 \, dt \right)^{ 1 - 1 / p} \\ &\leqslant \left( \int_{ 0}^{ 1} \left| f'( t) \right| ^{ p}\, dt \right) \left| x - y\right| ^{ 1 - 1/p} \end{aligned}\)
wobei in \( ( *) \) die Hölderungleichung verwendet wurde.

(c) Hier würde ich auf ein Theorem zurückgreifen, ich denke die vorherigen Teilaufgaben weisen sehr stark darauf hin, vgl. Arzelà–Ascoli Theorem. Ich gehe mal stark davon aus,
dass ihr so etwas ähnliches in der Vorlesung behandelt habt.