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Aufgabe:

Für welche \( a \in \mathbb{R} \) ist \( B=I_{4}+a 1_{4} 1_{4}^{T} \) nichtnegativ definit?


Problem/Ansatz:

Habe erstmal y^T*B*y berechnet

\( =y^{T}\left(I_{4}+a 1_{4} 1^T_{4}\right) \cdot y \)
\( =y^{\top} \cdot I_{4} \cdot y+a \cdot y^{\top} \cdot 1_{4} \cdot 1_{4}^{T} \cdot y \)

= \( \sum\limits_{n=1}^{4}{yi^{2} }\)+ a*(\( \sum\limits_{n=1}^{4}{yi} \))^2

Wenn man den Vektor y=(z,z,z,z)^T (z nicht null) einsetzt und umformt, kommt man auf die Gleichung

\( 4z^{2} \) (1+4a)>=0 |:4z

1+4a>=0, also a>=-1/4

Stimmt meine Rechnung bzw. meine Überlegung?

vor von

Wenn wieder 14 = (1,1,1,1)T sein soll, dann ist 1 ein dreifacher Eigenwert und der vierte lautet 4a+1.

Ja, ist es, aber worauf möchtest du hinaus?

Wenn alle Eigenwerte nichtnegativ sind, ist die Matrix nichtnegativ definit.

Das gilt also für alle a?

Nein. Es muss 4a+1 ≥ 0 sein.

Also a>=-1/4, also so, wie ich es beschrieben habe?

Das Resultat stimmt, aber du kannst dich nicht auf Vektoren der Form y=(z,z,z,z)T beschränken.

Wenn aber z eine beliebige Zahl ist, bzw y ein beliebier vektor ist, dann gilt das doch für alle a, oder nicht?

Dein Ergebnis für yTBy scheint richtig zu sein, falls du das meinst.

Ich meinte auch meine rechnung, da du meinst, dass ich micht nicht nur auf den vektor y=(z,z,z,z)^T beschränken soll. Ist aber y nicht ein beliebiger Vektor?

Was ist ein \( 1_4 \)?

Das soll der Vektor [1,1,1,1]^T sein, hätte ich wohl erwähnen sollen :(

Erstens sollte man so etwas tatsächlich erwähnen.

Zweites ist das keine mathematisch erlaubte Schreibweise, und deshalb darfst Du es überhaupt nie verwenden.

Diese schreibweise nutzen wir in den vorlesungen und in den klausuren, wäre seltsam, wenn mein prof eine "unerlaubte" Schreibweise nutzt...

Du müsstest zeigen, dass \(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2+a\cdot(y_1+y_2+y_3+y_4)^2≥0\) ganau dann für alle \(y\) gilt, wenn \(a≥-\tfrac14\) ist.

Wie kann man mit dieser gleichung zeigen, dass a>=-1/4 ist? Durch geschicktes umformen?

1 Antwort

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Beste Antwort

Stimmt meine Rechnung bzw. meine Überlegung?

Außer, dass es bei der letzten Umformung | : 4z^2

heißen muss, und das ist ja nicht 0,

ist doch alles OK.

vor von 220 k 🚀

Die Rechnung mag stimmen, beantwortet die Frage aber nicht.

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