Berechne die Summen mithilfe von Summen

Question

Aufgabe:

Es sei $$\sum_{i=1}^{10}x_i=20$$ und $$ \sum_{i=1}^{10} x_i^2=50$$

Berechne $$\sum_{i,j=1}^{10} x_ix_j$$

und

$$\sum_{i,j=1}^{10} (i*x_j+j*x_i^2)$$

Problem/Ansatz:

Beim ersten soll 400 rauskommen, beim zweiten 3850

Wie komme ich auf diese Werte?

Answer 1

Aloha :)

Die erste Summe ist einfach nur das Distributivgesetz. Du multiplizierst jedes Element der einen Summe mit jedem Element der anderen Summe:$$\sum\limits_{i=1}^{10}\sum\limits_{j=1}^{10}x_i\cdot x_j=\sum\limits_{i=1}^{10}x_i\cdot\sum\limits_{j=1}^{10}x_j=20\cdot20=400$$

Die zweite Summe ist etwas aufwändiger:$$\sum\limits_{i=1}^{10}\sum\limits_{j=1}^{10}(ix_j+jx_i^2)=\sum\limits_{i=1}^{10}\sum\limits_{j=1}^{10}ix_j+\sum\limits_{j=1}^{10}\sum\limits_{i=1}^{10}jx_i^2=\sum\limits_{i=1}^{10}i\sum\limits_{j=1}^{10}x_j+\sum\limits_{j=1}^{10}j\sum\limits_{i=1}^{10}x_i^2$$$$\qquad=\sum\limits_{i=1}^{10}i\cdot20+\sum\limits_{j=1}^{10}j\cdot50=20\sum\limits_{i=1}^{10}i+50\sum\limits_{j=1}^{10}j=(20+50)\sum\limits_{i=1}^{10}i$$$$\qquad=70\cdot\frac{10^2+10}{2}=3850$$

Comments

Wie würde ich Folgendes berechnen

x1=4, x2=3,x3=1,x4=3

y1=2,y2=0,y3=-2,y4=-4

$$\sum_{i,j=1, i \neq j}^{4} x_iy_j$$

Da habe ich mal aufgeschrieben $$\sum_{i=1}^4 x_i * \sum_{j=1}^4 x_j$$

Aber was mache ich jetzt mit $$i \neq j$$

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Ja, du bist schon fast da...

Du musst die Terme mit \((i=j)\) subtrahieren:$$\sum\limits_{i,j=1;i\ne j}^4x_iy_i=\sum\limits_{i,j=1}^4x_iy_j-\sum\limits_{i=1}^4x_ix_i=\sum\limits_{i=1}^4x_i\sum\limits_{j=1}^4y_i-\sum\limits_{i=1}^4x_i^2$$