Volumen zwischen zwei Funktionen im R3 zw. y-Achse und dritter Funktion

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Volumen zwischen den Funktionen
f(x, y) = 1 + 2x und g(x, y) = −6 − x − 3y
über dem Bereich zwischen der y-Achse und x = 4 − y^2.

Problem/Ansatz:

Erster Gedanke: Gar nicht so schwer, eifach das eine Integral vom anderen abziehen... Doch dann kam ich schnell nicht mehr weiter. Trotz Plot in Mathematica verstehe ich v.a. die Wahl der Integrationsgrenzen nicht. Muss ich hier irgendeinen Schnitttfonkt bzw. eine "Schnittfunktion" berechnen.

Also mein erster Instinkt war mit den Grenzen [x=0, 4-y^2] nach dx zu integrieren. Da kommen dann logischerweise von y abhängige Funktionen heraus. Jetzt bräuchte ich eben Integrationsgrenzen für eine Integration nach y (oder z?).. Wie kommt man hier weiter bzw. stimmt mein Ansatz überhaupt?

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion \(f\) und \(g\) beschreiben zwei Ebenen:$$F\colon z=1+2x\quad;\quad G\colon z=-6-x-3y$$Die z-Werte kommen daher aus dem Intervall:\(\quad z\in[-6-x-3y\;;\;1+2x]\).

Die Werte für x gehen von der y-Achse bis zu \(4-y^2\), also:\(\quad x\in[0;4-y^2]\)

Wegen \(x\ge0\) muss \(y^2\le4\) gelten, sodass:\(\quad y\in[-2;2]\).

Das gesuchte Volumen ist nun:$$V=\int\limits_{y=-2}^2\int\limits_{x=0}^{4-y^2}\int\limits_{z=-6-x-3y}^{1+2x}dz\,dx\,dy=\int\limits_{y=-2}^2\int\limits_{x=0}^{4-y^2}\left[z\right]_{z=-6-x-3y}^{1+2x}dx\,dy$$$$\phantom V=\int\limits_{y=-2}^2\int\limits_{x=0}^{4-y^2}(3x+3y+7)dx\,dy=\int\limits_{y=-2}^2\left[\frac32x^2+3yx+7x\right]_{x=0}^{4-y^2}dy$$$$\phantom V=\int\limits_{-2}^2\left(\frac32y^4-3y^3-19y^2+12y+52\right)dy=\int\limits_0^2\left(3y^4-38y^2+104\right)dy$$$$\phantom V=\left[\frac{3}{5}y^5-\frac{38}{3}y^3+104y\right]_0^2=\frac{3\cdot32}{5}-\frac{38\cdot8}{3}+208=\frac{1888}{15}=125,8\overline6$$