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Aufgabe:

Berechne das Volumen von F := {(x, y, z) ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 2, y2+ z2 ≤ x2(2-x)2}


Problem/Ansatz:

Aus der Definition von F habe ich die Grenzen

\(0 ≤ x ≤ 2\), \(-x(2-x) ≤ y ≤ x(2-x)\), -\( \sqrt{x^2(2-x)^2-y^2} \) ≤ z ≤ \( \sqrt{x^2(2-x)^2-y^2} \)

erhalten.

Das Dreifachintegral wird jedoch nach nur wenigen Schritten extrem unübersichtlich und ich habe das Gefühl etwas falsch zu machen. Würde ein Ansatz über Zylinderkoordinaten hier helfen bzw x=r*cos(Θ) und y=r*sin(Θ) zu substituieren?

von

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Aloha :)

An die \(y\)- und die \(z\)-Koordinate ist nur eine einzige Bedingung gestellt, nämlich:$$y^2+z^2\le x^2(2-x)^2$$Daher drängt sich die Substitution der beiden durch Polarkoordinaten geradezu auf. Als Ortsvektor \(\vec r\) zum Abtasten der Punktmenge \(F\) wählen wir daher:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\r\cos\varphi\\r\sin\varphi\end{pmatrix}\quad;\quad x\in[0;2]\quad;\quad r\in[0;x(2-x)]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Durch die Substitution \((y;z)\mapsto(r\,\varphi)\) wird das Flächenelment \(dy\,dz\) zu \(r\,dr\,d\varphi\) verzerrt. Das müssen wir im Volumenelement \(dV=dx\,dy\,dz=r\,dx\,dr\,d\varphi\) entsprechend berücksichtigen:

$$V=\int\limits_{x=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{r=0}^{x(2-x)}r\,dx\,dr\,d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\cdot\int\limits_{x=0}^2\left(\int\limits_{r=0}^{x(2-x)}r\,dr\right)dx$$$$\phantom{V}=\left[\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}\cdot\int\limits_{x=0}^2\left[\frac{r^2}{2}\right]_{r=0}^{x(2-x)}dx=2\pi\int\limits_0^2\frac{x^2(2-x)^2}{2}\,dx=\pi\int\limits_0^2(4x^2-4x^3+x^4)\,dx$$$$\phantom{V}=\pi\left[\frac43x^3-x^4+\frac15x^5\right]_0^2=\pi\left(\frac{32}{3}-16+\frac{32}{5}\right)=\frac{16\,\pi}{15}$$

von 124 k 🚀

Vielen Dank, die Erklärung hat mir sehr geholfen!

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