Zeige, dass |γ(x) − γ(y)| ≤ |x − y| für alle x, y ∈ [0, 1].

Question

Aufgabe:

Sei D das Bild eines C¹-Weges γ : [0, 1] → R², welcher der Bogenlänge gemäß parametrisiert ist.
1. Zeige, dass |γ(x) − γ(y)| ≤ |x − y| für alle x, y ∈ [0, 1].
2. Zeige, dass das Bild von γ in einem endlichen Rechteck enthalten ist.
3. Zeige, dass D Jordan-messbar ist und dass |D| = 0.

Problem/Ansatz:

Tipp zu 2.: Prüfe zu einer äquidistanten Zerlegung des Rechtecks und einer äquidistanten Zerlegung des Intervalls [0, 1] —beide mit Feinheit h > 0—, wieviele Teilrechtecke γ([t_i-1, t_i]) höchstens schneiden kann.

Comments

Die erste Aufgabe ist doch eine direkte Anwendung des Mittelwertsatzes, ist Dir das klar?