Aufgabe:
Sei \( \mathbb{R}_{+}=\{x \in \mathbb{R} \mid x>0\} \) die Menge der positiven reellen Zahlen. Definiere
\( \left.\mathrm{f}: \mathbb{R}_{+}^{3} \rightarrow \mathbb{R}:(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) \rightarrow y+\sqrt{x^{2}+z}, \mathrm{~g}:\right] 1, \infty\left[\rightarrow \mathbb{R}^{3}: \mathrm{t} \rightarrow(\mathrm{t}, 2+\sin (\mathrm{t}), \ln (\mathrm{t}))^{\top}\right. \)
Für die zusammengesetzte Funktion \( f \circ g:] 1, \infty[\rightarrow \mathbb{R} \) gilt
\( f(g(t))=2+\sin (t)+\sqrt{t^{2}+\ln (t} \)
Nach der Kettenregel gilt (beachte \( \left.\ln (\mathrm{t})^{\prime}=1 / \mathrm{t}\right) \)
\( J(f \circ g)(t)=J f(g(t)) \cdot J g(t) \)
Dabei gilt \( \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\nabla \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+z}}, 1, \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x^{2}+z}}\right) \) sowie \( \mathrm{Jg}(\mathrm{t})=(1, \cos (\mathrm{t}), 1 / \mathrm{t})^{\top} \) und daher
\( \mathrm{J}(\mathrm{f} \circ \mathrm{g})(\mathrm{t})=\left(\frac{t}{\sqrt{t^{2}+\ln (t}}, 1, \frac{1}{2 \cdot \sqrt{t^{2}+\ln (t)}}\right) \cdot(1, \cos (\mathrm{t}), 1 / \mathrm{t})^{\top}=\frac{t}{\sqrt{t^{2}+\ln (t}}+\cos (t)+\frac{1}{2 \cdot t \cdot \sqrt{t^{2}+\ln (t)}} \)
Problem:
Kann mir einer erklären, wie man auf \( \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\nabla \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+z}}, 1, \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x^{2}+z}}\right) \) sowie \( \mathrm{Jg}(\mathrm{t})=(1, \cos (\mathrm{t}), 1 / \mathrm{t})^{\top} \) kommt ? Wie hat man die Ableitungen bestimmt ? Ich verstehe leider nur Bahnhof.
