Extrema von f(x, y) = x4 * y2 auf der Menge x4 + y4 = 1

Question

Aufgabe:

mögliche Extrema auf der Menge K mit der Lagrange-Methode berechnen.

$f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=x^{4} y^{2}$

$K:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: \quad x^{4}+y^{4}=1\right\}$

Problem/Ansatz:

verstehe die aufgabe nicht .

Comments

habe die 3 gleichungssysteme aufgestellt, der rest fehlt.

Answer 1

Wie lautet denn dein aufgestelltes Gleichungssystem?

Hier eine Kontroll-Lösung von meinem Freund Wolfram

Comments

1: 4x³(y²+λ)=0

2: 4y³*λ+2yx⁴=0

3: x⁴+y⁴-1=0

weiter komme ich nicht...

---

Deine Gleichung sind richtig

4·x³·y² + 4·λ·x³ = 0
2·x⁴·y + 4·λ·y³ = 0
x⁴ + y⁴ - 1 = 0

Die erste Gleichung hat die Triviallösung x = 0. Die zweite Gleichung hat die Triviallösung y = 0. Das beides schon mal merken.

Kannst du aus den ersten beiden Gleichungen λ eliminieren, z.B. über das Gleichsetzungsverfahren?

Answer 2

Für $x=0\vee y=0$ nimmt $f$ den kleinstmöglichen Wert 0 an.

Daher liegen in $(-1,0),(1,0),(0,-1),(0,1)$ (globale) Minima von $f$.

Lagrange liefert $(4x^3y^2,2x^4y)=\lambda(4x^3,4y^3)$, also

$x^3y^2=\lambda x^3$ und $x^4y=2\lambda y^3$.

Aus $x,y\neq 0$ folgt dann $\lambda=y^2$, also

$x^4y=2y^2y^3\Rightarrow x^4=2y^4$.

Einsetzen in $x^4+y^4=1$ ergibt

$y=\pm\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ und $x=\pm\sqrt[4]{\frac{2}{3}}$ ...

Answer 3

Aloha :)

Hier soll eine Funktion $f$ unter einer konstanten Nebenbedingung $g$ optimiert werden:$$f(x;y)=x^4y^2\quad;\quad g(x;y)=x^4+y^4=1$$

Das Bilden der Lagrange-Funktion zur Anwendung des Lagrange-Formalismus ist in der Regel die komplizierteste Methode für solche Probleme. Daher verwende ich die nie. Die Kern-Idee von Lagrange ist, dass der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller konstanten Nebenbedingungen sein muss.

Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, bedeutet dies:$$\operatorname{grad}f(x,y)=\lambda\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{4x^3y^2}{2x^4y}=\lambda\binom{4x^3}{4y^3}$$

Um den Lagrange-Multiplikator $\lambda$ loszuwerden, dividieren wir die Gleichung für die erste Koordinate durch diejenige der zweiten Koordinate:$$\frac{4x^3y^2}{2x^4y}=\frac{\lambda\,4x^3}{\lambda\,4y^3}\implies\frac{2y}{x}=\frac{x^3}{y^3}\implies \pink{x^4=2y^4}$$

Die pinke Lagrange-Bedingung setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$1=x^4+y^4=2y^4+y^4=3y^4\implies y^4=\frac13\implies y^2=\sqrt{\frac13}\implies y=\pm\sqrt[4]{\frac13}$$$$\pink{x^4=2y^4}=\frac23\implies x^2=\sqrt{\frac23}\implies x=\pm\sqrt[4]{\frac23}$$

Das ergibt 4 Extrempunkte:$\quad K\left(\pm\sqrt[4]{\frac23}\bigg|\pm\sqrt[4]{\frac13}\right)$

Alle haben denselben Funktionswert:$\quad f_{\text{max}}=\frac{2}{3\sqrt3}$

Hier ist $x;y\in[-1;1]$. Die Differentialrechnung liefert Extrema jedoch nur im Inneren des Definitionsbereichs, also für $x;y\in(-1;1)$.

Wegen $f(x;y)\ge0$ liegen an den Randpunkten $(\pm1|0)$ und $(0|\pm1)$ mit $f_{\text{min}}=0$ noch Rand-Minima vor, die du in der Lösung erwähnen solltest.