Aufgabe:
Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion für n∈ℕ:
\( \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{1}{i \cdot(i+1)}=\frac{n}{n+1} \)
Problem/Ansatz:
Ich habe eine Frage zu der folgenden Musterlösung. Muß ich das so kompliziert mit n=k und n=k+1 machen? Ich habe das bisher nur mit n und n+1 gesehen. Ansonsten sind die Schritte klar aber warum ich da ein k brauche eben nicht.
Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion
\( \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{1}{i \cdot(i+1)}=\frac{n}{n+1} \)
Induktionsanfang: \( n=1 \)
\( \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)}=\frac{1}{1 \cdot 2}=\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1} \checkmark \)
Induktionsschritt: \( n=k \rightarrow n=k+1 \)
Wir nehmen an, dass \( \sum \limits_{i=1}^{k} \frac{1}{i \cdot(i+1)}=\frac{k}{k+1}( \) IA \( ) \) gilt und zeigen damit, dass dann auch \( \sum \limits_{i=1}^{k+1} \frac{1}{i \cdot(i+1)}=\frac{k+1}{k+2} \) richtig ist…usw.
