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Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar \( f_{a} \) mit \( f_{a}(x)=x^{4}-a x^{2}(a \in \mathbb{R}) \)

a) Zeigen Sie, dass der Graph von \( f_{\mathrm{a}} \) für \( a \leq 0 \) keinen Hochpunkt hat.

b) Bestimmen Sie für a \( >0 \) die Ortskurve für die Tiefpunkte und Wendepunkte der Schar.

c) Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte aller Graphen der Funktionenschar.

d) Bestimmen Sie die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt \( P(1 | f(1)) \). Für welchen Wert von a beträgt die Steigung \( -0,5 ? \) 


Ich weiß, dass ich hinrechende und notwendige Bedingung sowie Nullstellen und Ableitungen berechnen muss, nur leider weiß ich nicht wo.

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Funktion und Ableitungen

 

fa(x) = x^4 - a·x^2

fa'(x) = 4·x^3 - 2·a·x

fa''(x) = 12·x^2 - 2·a

fa''(x) = 24·x


 

a) Zeigen Sie, dass der Graph für a ≤ 0 keinen Hochpunkt hat.

 

Für a ≤ 0 ist "- a·x^2" eine nach oben geöffnete Parabel oder aber konstant 0. Hat also keinen Hochpunk. x^4 ist immer eine nach oben geöffnete Parabel. Die Summe der Terme kann also keinen Hochpunkt haben.


 

b) Bestimmen Sie für a > 0 die Ortskurve der Tief- und Wendepunkte der Schar.

 

Tiefpunkte fa'(x) = 0

4·x^3 - 2·a·x = x·(4·x^2 - 2·a) = 0

x = 0

x = ± √(a/2)

 

fa''(0) = 12·0^2 - 2·a > 0
a < 0

Das kann also kein Tiefpunkt sein.

 

fa''(√(a/2)) = 12·(√(a/2))^2 - 2·a > 0
a > 0

 

Ortspunkt der Tiefpunkte

(4·x^2 - 2·a) = 0

a = 2·x^2

fT(x) = x^4 - a·x^2 = x^4 - (2·x^2)·x^2 = - x^4

 

Tiefpunkte fa''(x) = 0

12·x^2 - 2·a = 0

x = √(a/6)

 

fa'''(√(a/6)) ≠ 0 --> Wendepunkt

 

Ortspunkt der Wendepunkte

12·x^2 - 2·a = 0

a = 6·x^2

 

fW(x) = x^4 - a·x^2 = x^4 - (6·x^2)·x^2 = - 5·x^4


 

c) Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte aller Graphen der Funktionenschar.

 

fa(x) = fb(x)

x^4 - a·x^2 = x^4 - b·x^2

Eine Lösung ist sicher x = 0. Dann kann ich durch x^2 teilen

x^2 - a = x^2 - b

- a = - b

Weitere Lösungen gibt es keine solange a ≠ b.


 

d) Bestimmen Sie die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt P(1|f(1)). Für welchen Wert von a beträgt die Steigung -0.5?

 

fa'(1) = 4·x^3 - 2·a·x = 4·1^3 - 2·a·1 = 4 - 2·a

 

fa'(1) = 4 - 2·a = -0.5

a = 2.25

Avatar von 477 k 🚀
ich verstehe nicht, wie du das mit a meinst+

Also die Aufgabe a


und dann weiß ich nicht, wieso du das hier so machst:

Ortspunkt der Tiefpunkte

(4·x^2 - 2·a) = 0  Warum die Gleichung ?
fT(x) = x4 - a·x2 = x4 - (2·x2)·x2 = - x4 und wieso diesen Schritt bis bei den restlichen Aufgabeteilen also:

Tiefpunkte fa''(x) = 0

Ortspunkt der Wendepunkte

Habe ich leider auch keine Ahnung, wie du das meinst.


den Rest habe ich verstanden schonmal vielen Dank :)

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