Zeigen Sie: W = Bild(ϕ) ⊕ Kern(ψ)

Question

Aufgabe:

Es sei K ein Körper. Weiter seien V , W und U jeweils K-Vektorräume. Zeigen Sie:
Sind ϕ ∈ HomK(V, W) und ψ ∈ HomK(W, U), so daß ψ ◦ ϕ ein Isomorphismus ist,
so gilt
W = Bild(ϕ) ⊕ Kern(ψ)

Problem/Ansatz:

Hallo ihr, ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe (Lineare Algebra 1)... Ich weiß gar nicht, wie ich vorgehen soll. Vielleicht ist ja jemand dabei, der mir helfen kann.

Dankeschön!

Answer 1

Ein möglicher Weg ist, die folgende Abbildung zu betrachten:

$$P = \phi\circ (\psi \circ \phi)^{-1}\circ\psi:\: W \rightarrow W$$

Das sieht zwar im ersten Moment schlimm aus, ist aber - wenn man anfängt damit zu rechnen - sehr leicht zu handhaben.

Eine einfache Rechnung zeigt

$$P^2 = P$$

Damit ist \(P\) ein Projektor in \(W\) und es gilt

$$W = \operatorname{im} P \oplus \ker P$$

Man kann jetzt schnell nachrechnen, dass

\(\operatorname{im} P = \operatorname{im} \phi\) und \(\ker P = \ker \psi\).