Rg(Ψ ◦ Φ) = Rg(Φ) − dim(Bild Φ ∩ Kern Ψ)

Question

Aufgabe:

Gegeben seien K-Vektorräume V1, V2, V3 sowie lineare Abbildungen Φ: V1 → V2 und
Ψ: V2 → V3. Zeigen Sie:
a) Rg(Ψ ◦ Φ) = Rg(Φ) − dim(Bild Φ ∩ Kern Ψ).
b) Rg(Ψ ◦ Φ) ≤ min{Rg(Φ), Rg(Ψ)}.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass der Rang Φ immer kleiner/gleich der Dimension von V sein muss und außerdem gilt,

dass Rang Φ = dimV -dim Kern Φ     

ansonsten komme ich jedoch nicht wirklich weiter.

Danke im Voraus!

Answer 1

Schau mal dort :

https://www.mathelounge.de/192395/verknupfung-einer-linearen-abbildung-einem-auswirkungen

und für a) Bedenke:  Rg(Ψ ◦ Φ) = dim ( Bild (Ψ ◦ Φ))

Nun ist aber Bild (Ψ ◦ Φ) gleich dem Bild der

Einschränkung von  Ψ  auf das Bild von  Φ,

nennen wir diese Abbildung mal f.

Dann gilt also f : Bild ( Φ) → V3 und somit

Rg(Ψ ◦ Φ) = rang(f)

           = dim( Bild ( Φ) ) - dim Kern (f)

            =    rg ( Φ)   - dim(Bild Φ ∩ Kern Ψ).

Rg(Ψ ◦ Φ) = Rg(Φ) − dim(Bild Φ ∩ Kern Ψ).