Zeigen sie an einer Abbildung, dass linear, bijektiv ist

Question

Gegeben sei die Abbildung

f: ℝ² → ℝ^1x2, x↦x^T

i. Zeigen, dass f linear ist

ii. Zeigen, dass f bijektiv ist

iii. Prüfen, ob f ein Mono-/Epi-/Iso-/Automorphismus ist

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das ganze lösen soll und hoffe mir kann jemand bei der Art der Aufgabe helfen.

Answer 1

i. Begründe warum

        \(f(a\cdot x) = a\cdot f(x)\)

für alle \(a\in \mathbb{r}\) und alle \(x\in \mathbb{R}^2\) ist.

Begründe warum

      \(f(x + y)\) = f(x) + f(x)\)

für alle \(x,y\in \mathbb{R}^2\) ist.

ii. Zeige das \(f\) injektiv und surjektiv ist.

iii. Begründe warum \(f\) ein Isomorphuismus aber kein Automorphismus ist.