Extinktion berechnen Tierversuch

Question

Aufgabe:

Ein Extinktionsexperiment wird geplant, bei dem die Tiere eine einmal erlernte Aufgabe wieder verlernen sollen. Dazu sollen zuerst mindestens 125 Tiere diese Aufgabe lernen. Aus früheren Versuchen weiß man, dass dies nur bei 50% der Tiere gelingt. Wir trainieren 125/0.50= 250 Tiere.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 125 Tiere die Aufgabe erlernen?(verwende Normalapproximation)

b)Wie viele Tiere müssen trainiert werden, um zu 99.0% sicher zu sein, dass mindestens 125 Tiere die Aufgabe erlernen?

Nutze Normalapproximation, verwende im Nenner aber die Näherung √(N&p*(1-p)) mit dem Wert N= 250 aus vorheriger Aufgabe

Problem/Ansatz:

Also, ich übe die ganze Zeit mit diesen Aufgaben für die Klausur, aber ich verstehe es halt echt gar nicht.

Comments

Was möchtest Du mit

wurzel N&p*(1-p)

sagen?

Answer 1

Normalapproximation. Ist $X$ binomialverteilt mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$, dann ist

        $P(x_1\leq X \leq x_2) \approx \Phi\left(\frac{x_2-\mu+0,5}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{x_1-\mu-0,5}{\sigma}\right)$

falls $\sigma \geq 3$ ist. Dabei ist $\Phi$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

Aus früheren Versuchen weiß man, dass dies nur bei 50% der Tiere gelingt.

Bei einem Tier gelingt das Lernen, oder es gelingt nicht. Das Trainieren eines Tieres ist also ein Bernoulli-Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p=50\%$.

Wir trainieren 125/0.50= 250 Tiere.

Der Bernoulli-Versich wird mehrmals durchgeführt. Es wird angenommen, dass diese Durchführungen unabhängig voneinander sind. Es liegt deshalb eine Bernoulli-Kette der Länge $n=250$ vor.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 125 Tiere die Aufgabe erlernen?

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine gewisse Anzahl $X$ von Erfolgen in der Bernoulli-Kette. Diese ist binomialverteilt. Dabei ist

  $\mu = n\cdot p = 250\cdot 0,5=125$

und

  $\sigma = \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{250\cdot 0,5\cdot 0,5}=\sqrt{62,5}$.

Laut Normalapproximation ist somit

        $\begin{aligned}&P(X\geq 125)\\ =\ & P(125 \leq X\leq 250)\\\approx\ &\Phi\left(\frac{250-125+0,5}{\sqrt{62,5}}\right) - \Phi\left(\frac{125-125-0,5}{\sqrt{62,5}}\right)\end{aligned}$.

b) Wie viele Tiere müssen trainiert werden, um zu 99.0% sicher zu sein, dass mindestens 125 Tiere die Aufgabe erlernen?

        $\begin{aligned} P\left(X\geq125\right) & =0,99\\ P\left(X\leq124\right) & =1-0.99\\ \Phi\left(\frac{124-n\cdot0,5+0,5}{\sqrt{62,5}}\right) & =0,01\\ \frac{124-n\cdot0,5+0,5}{\sqrt{62,5}} & \approx-2,3263\\ n & \approx286 \end{aligned}$

verwende im Nenner aber die Näherung √(N&p*(1-p)) mit dem Wert N= 250 aus vorheriger Aufgabe

Eigentlich darf man nicht 250 für N einsetzen, sondern als Variable belassen. Ich vermute der Dozent wollte euch die dadurch notwendigen Gleichungsumformungen nicht zumuten. Man würde dann zu N = 289 kommen.

Comments

Also wenn ich dann bei a) ausrechnen würde, käme ich auf 15.9379,dass ist aber falsch

Und bei b) ist das Ergebnis auch Falsch, aber es können ja auch nicht 289 Tiere trainiert werden, wenn nach 125 gefragt werden oder? Ich hab keine Ahnung haha

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Also wenn ich dann bei a) ausrechnen würde, käme ich auf 15.9379

Wie hast du denn

        $\Phi\left(\frac{250-125+0,5}{\sqrt{62,5}}\right) - \Phi\left(\frac{125-125-0,5}{\sqrt{62,5}}\right)$

ausgerechnet, dass du auf eine Zahl kommst, die größer als 1 ist?

Und bei b) ist das Ergebnis auch Falsch

Welches Ergebnis meinst du?

aber es können ja auch nicht 289 Tiere trainiert werden, wenn nach 125 gefragt werden oder?

Es wird nicht "nach 125 gefragt".

Answer 2

Meist rechnet der Dozent wohl ohne Stetigkeitskorrektur.

a)

P(X ≥ 125) = 1 - NORMAL((125 - 250·0.5)/√(250·0.5·0.5)) = 0.5

b)

P(X ≥ 125) = 1 - NORMAL((125 - n·0.5)/√(250·0.5·0.5)) = 0.99 → n = 287

Comments

Ich verstehe nicht ganz, wie man nach n aufgelöst hat

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1 - Φ((125 - n·0.5)/√(250·0.5·0.5)) = 0.99

1 - Φ((125 - n·0.5)/√62.5) = 0.99

1 - 0.99 = Φ((125 - n·0.5)/√62.5)

Φ((125 - n·0.5)/√62.5) = 0.01

(125 - n·0.5)/√62.5 = Φ^-1(0.01)

125 - n·0.5 = √62.5·Φ^-1(0.01)

- n·0.5 = √62.5·Φ^-1(0.01) - 125

n = 250 - 2·√62.5·Φ^-1(0.01)

n = 250 - 2·√62.5·(-2.326)

n = 287