Bestimmen der Konvergenzrate von Folgen

Question

Aufgabe:

Bestimmen der Konvergenzrate von Folgen

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, ich soll bei drei Folgen die Konvergenzrate bestimmen, und habe leider keine Verständnis wie das geht. Könnt ihr mir da auf die Sprünge helfen?

Bestimmen Sie die Konvergenzrate der Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \geq 0} \) mit

(a) \( a_{n}=\frac{1}{n^{2}+n+1} \)

(b) \( a_{n}=3^{-4^{n}} \)

(c)
\( a_{n}=\left\{\begin{array}{lll} 2^{-2^{n}} & \text { falls } & n \text { gerade } \\ 3^{-2^{n}} & \text { falls } & n \text { ungerade } \end{array}\right. \)

Answer 1

Wie habt ihr das denn definiert? Bei Wikipedia finde ich folgende Definition

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzgeschwindigkeit

Comments

Bei uns im Skript lautet die Definition folgendermaßen: (leider kann ich mit der nichts anfangen)

Definition. Sei \( \left(a_{i}\right)_{i \in \mathbb{N}} \) eine konvergente Folge reeller Zahlen mit \( \lim \limits_{i \rightarrow \infty} a_{i}= \) \( a \). Die Konvergenzrate ist dann das Supremum der nicht negativen Zahlen \( p \in \mathbb{R}_{+} \) mit
\( 0 \leq \limsup _{i \rightarrow \infty} \frac{\left|a_{i+1}-a\right|}{\left|a_{i}-a\right|^{p}}<\infty . \)
Ist \( p \) die Konvergenzrate und \( 1 \leq q \leq p \), so sagen wir auch, die Folge konvergiert von der Ordnung \( q \).

Ist die Konvergenzrate mindestens 2, so sagen wir die Folge konvergiert quadratisch. Ist die Konvergenzrate mindestens 1, so sagen wir die Folge konvergiert linear mit Konvergenzfaktor \( \kappa \), wenn
\( \lim \limits_{i \rightarrow \infty} \frac{\left|a_{i+1}-a\right|}{\left|a_{i}-a\right|}=\kappa<1 \)
Gilt dies sogar mit \( \kappa=0 \), so sprechen wir von superlinearer Konvergenz.

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Das ist genau die Definition, die ich auch bei Wikipedia gefunden habe.

Du musst also zunächst den Grenzwert der Folge bestimmen und dann den Grenzwert der Konvergenzrate. Das ist doch grundsätzlich nur einsetzen und ausrechnen.

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ich weiß leider nicht wie ich das so richtig machen soll, kannst du vielleicht das mal mit a) machen bitte?

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Grenzwert von a(n) ist offensichtlich a = 0

a(n+1) = 1/((n + 1)^2 + (n + 1) + 1) = 1/(n^2 + 3·n + 3)

a(n) = 1/(n^2 + n + 1)

q(n) = a(n + 1) / a(n) = (n^2 + n + 1)/(n^2 + 3·n + 3)

lim (n → ∞) (n^2 + n + 1)/(n^2 + 3·n + 3) = 1

Also eine Konvergenzrate von c = 1

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ich habe den Ansatz nun verstanden, was ja an sich ganz einfach ist.

Ich war mir nur nicht bewusst dass man das so lösen muss.

Vielen Dank für den Tipp, habe ich dann bei b) richtig gerechnet wenn ich für eine Konvergenzrate von c= 7 kriege?

Nochmal tausend Dank!!!

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Wie kommst du auf c = 7?

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So habe ich das gerechnet

\( \frac{3-4^{n+1}}{3-4^{n}}=\frac{3-4^{n} \cdot 4^{1}}{-4^{n}\left(1-\frac{3}{4^{n}}\right)}=\frac{3+4}{1}=7 \)

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Welche Formel ist denn jetzt verkehrt und welche rchtig?

Oben in der Aufgabe steht \( a_n = 3^{-4^n} \).

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\( \frac{a^{n+1}}{a^{n}}=\frac{3-4^{n+1}}{3-4^{n}}=\frac{3-4^{n} \cdot 4^{1}}{-4^{n}\left(1-\frac{3}{4^{n}}\right)}=\frac{3+4}{1}=7 \)

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ich habe das -4^n gekürzt