Eigenschaften von Faktormoduln

Question

Aufgabe:

Sei R ein Ring und M ein R-Modul, N ⊆ M ein Untermodul. Beweisen oder widerlegen Sie:

(a) Ist M endlich erzeugt, so ist M/N endlich erzeugt.
(b) Ist M frei, so ist M/N frei.

Problem/Ansatz:

Ich denke, dass es bei dieser Aufgabe daraus hinausläuft eine R-Lineare Abb. vom M--> M/N zu konstruieren und so die Eigenschaften zu zeigen. Wäre super wenn mir jemand helfen könnte wie man diese konstruiert oder ob es irgendwie anders geht

Answer 1

(a) ist wahr. Nimm ein endliches Erzeugendensystem $\{m_1,\cdots,m_n\}$

von $M$. Überlege dir, dass dann $\{m_1+N,\cdots, m_n+N\}$ ein

Erzeugemdemsystem von $M/N$ ist.

(b) ist falsch. Finde ein Gegenbeispiel z.B. mit $R=M=\mathbb{Z}$.