Körper, Abbildungen, Kern, Ringendomorhismus, Faktorring, (Lineare Algebra für das Lehramt)

Question

bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe

Es sei K der Körper mit zwei Elementen und f=x^4 + x^3 +1 ∈ K[x]

Nun sei I = f*K[x] das von f erzeugte Ideal in K[x]. Wir bilden den Faktorring R = K[x]/I = {[g] | g∈K[x] } aller Restklassen  [g] = g+f*K[x] mit der üblichen Addition und Multiplikation

a) Zeigen sie, dass R ein Körper mit 16 Elementen ist.

b) Bestimmen sie explizit [x+1]^{-1}

c) Zeigen sie, dass die Abbildung α: R→R, gegeben durch α(a) = a^4 für alle a ∈ R, ein Ringendomorphismus ist.

d) Zeigen Sie [x^3+x+1] ∈ Kern(α-id_R)

e) Folgern Sie, dass Kern(α-id_R) ein Teilkörper mit vier Elementen ist.