Beschränktheit formal nachweisen

Question

Aufgabe:

Überprüfe die Folge auf Beschränktheit

1) $$a_n= 2n + (-1)^n$$

2) $$a_n= \frac{1+2^n}{1+2^n+(-2)^n}$$

Ansatz:

Ich habe zuerst einmal die verschiedenen Folgenglieder berechnet

a_0= 1

a_1= 1

a_2=5

a_3=5

a_4= 9

a_5 =9

Somit ist die Folge nicht beschränkt da sie divergiert.

Aber kann man das nicht auch irgendwie formal zeigen?

Comments

Antwort wurde gelöscht.

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Zeige a_n<a_n+1

Erstens stimmt das nicht und zweitens würde es selbst dann keine Divergenz nachweisen.

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$$a_n < a_{n+1}$$

$$2n+ (-1)^n < 2(n+1)+ (-1)^{n+1}$$

$$2n + (-1)^n < 2n +2 +(-1)^n +(-1)$$ rechne minus 2n

$$(-1)^n < 2 + (-1)^n*(-1)$$

und jetzt?

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Betrachte bei 2) nur ungerade Werte von n. Der Nenner wird zu 1, sodass du nur den Zähler untersuchen musst.

Answer 1

a) an = 2ⁿ-1 für n ist ungerade

an = 2ⁿ+1 für n ist gerade

2n± 1 beschreibt alle ungeraden natürlichen Zahlen

Die Menge ist abzählbar unendlich und damit unbeschränkt.

0 ist in der Menge ℕ nicht enthalten.

b) Klammere 2ⁿ aus und kürze damit.

Answer 2

Sei $K>0$. Dann gilt für $n>(K+1)/2$:

$a_n=2n+(-1)^n>2(K+1)/2+(-1)^n\geq K$, d.h.

kein $K>0$ kann obere Schranke sein.

Comments

Wie kommt ein Normal-Mathe-Sterblicher darauf, ermanus?

An was muss man dabei denken? Grundwissen?

Immer wenn ich lese: Sei ... setzt es bei mir aus.

Diese "SEI-ereien" haben sich mir nie erschlossen.

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Um Unbeschräktheit nach oben zu zeigen, muss

ich zeigen: $\forall K>0\; \exists n\in \mathbb{N}:\; a_n>K$.

Dies kann man auch so ausdrücken:

$K>0\Rightarrow \exists n\in \mathbb{N}:\; a_n>K$.

$K>0$ ist in dieser Implikation $\alpha\Rightarrow \beta$

die Prämisse $\alpha$. Mit "Sei $\alpha$", nimmt man die

Prämisse als gegeben an und zeigt dann damit

die Konklusion.

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Danke.

Mit dieser trockenen Mathematik werde ich nie warm werden, auch wenn

sie wohl ihren Sinn haben wird.