Wichtigkeit des Cantorschen Durchschnittssatz.

Question

Hey Leute,

ich bereite derzeit eine Präsentation über den Cantorschen Durchschnittssatz in metrischen Räumen vor. Am Ende soll ich noch einen kleinen Ausblick geben. Nur kann ich fast nichts dazu finden, also wozu der Satz noch gebraucht wird.

Ich habe nur, dass er verwendet werden kann, um die Vollständigkeit eines metrischen Raums zu charakterisieren.

Vielleicht kann mir jemand noch ein paar Ideen für den Ausblick geben. Würde mich über Hilfe freuen.

Answer 1

Hier eine mögliche Anwendung in der Variationsrechnung: Sei \( E\colon M \to \mathbf{R}\)
ein Funktional, wobei \( M\) ein topologischer Hausdorffraum ist und es gelte weiterhin, dass für alle \( \alpha \in \mathbf{R}\)
die Menge
\(\begin{aligned}   K_{ \alpha } = \{ u \in M\mid E( u) \leqslant a\} \end{aligned}\)
überdeckungskompakt ist. Dann nimmt \( E\) sein Infimum an.

Beweis: Sei \( \inf_{ u \in M} E( u) = \alpha \) und sei \( \alpha _{ k} \downarrow \alpha \) eine monoton fallende Folge. Dann existiert
per Definition eine Folge \( \{ u_{ \alpha_k} \}\) mit \( E( u_{ \alpha _{ k} } ) \leqslant \alpha _{ k} \)
und somit sind die Menge \( K_{ \alpha _{ k} } \) nicht leer. Weiterhin gilt \( K _{ \alpha _{ k} } \supset K _{ \alpha _{ k + 1} } \) und somit
ist nach dem Cantorschen Durchschnittssatz (warum sind die \(K_{\alpha_k}\) abgeschlossen?) der Schnitt \( \bigcap_{  k \geqslant 1}^{ } K _{ \alpha _{ k} } \) nicht leer, es existiert also ein \( u _{ \alpha } \)
mit \( E( u_{ \alpha } ) \leqslant \alpha_{ k}  \) für alle \( k\) und somit wird das Infimum angenommen.