Du kannst für f eine Approximation durch das Taylorpolynom bis zur Ordnung 2 ansetzen. Die Voraussetzung, dass f dreimal differenzierbar ist, garantiert, dass der Fehlerterm von der Ordnung 3 ist. Ebenso für den Term mit der Exponentialfunktion.
Wenn Du dies alles in den Bruch einsetzt und die Bedingung auswertest, dass der Bruch gegen 2 konvergiert, kannst Du alle Koeffizienten des unbekannten Taylorpolynoms bestimmen, darunter auch die gemischte zweite Ableitung.
Ich führe die LÖsung mal etwas aus, nach den Kommentaren.
Um mit die Schreibarbeit zu erleichtern, benutze ich x und y als Variable und \(c_i\) etc. für die unbekannten Koeffizienten in der Entwicklung von f. Dann lautet der Bruch:
$$\frac{1}{x^2+y^2}(c_0+c_1x+c_2y+0.5c_{11}x^2+c_{12}xy+0.5c_{22}y^2 \\\quad+1+x-y+0.5(x-y)^2+ \cdots) \to 2$$
Die Punkte stehen für Terme der Ordnung 3. Wir betrachten jetzt speziell die Konververgenz für y=0:
$$\frac{1}{x^2}(c_0+c_1x+0.5c_{11}x^2+1+x+0.5x^2+ O(x^3)) \to 2$$
Offenbar geht der Zähler gegen \(c_0+1\) der Nenner gegen 0. Also muss \(c_0=-1\). Wir berücksichtigen das und kürzen x:
$$\frac{1}{x}(c_1+0.5c_{11}x+1+0.5x+ O(x^2)) \to 2$$
Mit demselben Argument folgt \(c_1=-1\) und danach \(c_{11}=3\). Für x=0 erhält man analog \(c_2=1\) und \(c_{22}=3\).. Wenn wir dies alles einsetzen, verbleibt:
$$\frac{1}{x^2+y^2}(2x^2+c_{12}xy+2y^2-xy+ \cdots) \to 2$$
Setzen wir noch x=y, so
$$\frac{1}{2x^2}(2x^2+c_{12}x^2+2x^2-x^2+ \cdots) \to 2$$
Das verlangt \(c_{12}=1.\)
