Bestimmen Sie zweite Ableitung am Punkt

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Es sei $f \in C^{3}\left(\mathbb{R}^{2}\right)$ mit $\lim \limits_{\left(x_{1}, x_{2}\right) \rightarrow(0,0)} \frac{f\left(x_{1}, x_{2}\right)+\mathrm{e}^{x_{1}-x_{2}}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}=2$. Bestimmen Sie $\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{2}}(0,0)$

Problem/Ansatz:

Kann man einfach umstellen nach f(x1, x2)  und dann einfach die Funktion ableiten und (0,0) einsetzen ? Hinkt das nicht wegen dem verbleibenden limes?

Answer 1

Du kannst für f eine Approximation durch das Taylorpolynom bis zur Ordnung 2 ansetzen. Die Voraussetzung, dass f dreimal differenzierbar ist, garantiert, dass der Fehlerterm von der Ordnung 3 ist. Ebenso für den Term mit der Exponentialfunktion.

Wenn Du dies alles in den Bruch einsetzt und die Bedingung auswertest, dass der Bruch gegen 2 konvergiert, kannst Du alle Koeffizienten des unbekannten Taylorpolynoms bestimmen, darunter auch die gemischte zweite Ableitung.

Ich führe die LÖsung mal etwas aus, nach den Kommentaren.

Um mit die Schreibarbeit zu erleichtern, benutze ich x und y als Variable und $c_i$ etc. für die unbekannten Koeffizienten in der Entwicklung von f. Dann lautet der Bruch:

$$\frac{1}{x^2+y^2}(c_0+c_1x+c_2y+0.5c_{11}x^2+c_{12}xy+0.5c_{22}y^2 \\\quad+1+x-y+0.5(x-y)^2+ \cdots) \to 2$$

Die Punkte stehen für Terme der Ordnung 3. Wir betrachten jetzt speziell die Konververgenz für y=0:

$$\frac{1}{x^2}(c_0+c_1x+0.5c_{11}x^2+1+x+0.5x^2+ O(x^3)) \to 2$$

Offenbar geht der Zähler gegen $c_0+1$ der Nenner gegen 0. Also muss $c_0=-1$. Wir berücksichtigen das und kürzen x:

$$\frac{1}{x}(c_1+0.5c_{11}x+1+0.5x+ O(x^2)) \to 2$$

Mit demselben Argument folgt $c_1=-1$ und danach $c_{11}=3$. Für x=0 erhält man analog $c_2=1$ und $c_{22}=3$.. Wenn wir dies alles einsetzen, verbleibt:

$$\frac{1}{x^2+y^2}(2x^2+c_{12}xy+2y^2-xy+ \cdots) \to 2$$

Setzen wir noch x=y, so

$$\frac{1}{2x^2}(2x^2+c_{12}x^2+2x^2-x^2+ \cdots) \to 2$$

Das verlangt $c_{12}=1.$

Comments

Ich hab das Polynom eingesetzt aber irgendwie hänge ich das dann zu lösen.

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Schreib doch mal auf, wie bei Dir der Bruch mit den Taylorpolynomen aussieht....

Als nächster Tipp: Betrachte die Konvergenzaussage für x2=0

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$$T(x_1, x_2) = f(0,0) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(0,0) x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}(0,0) x_2 + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(0,0) x_1^2 + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(0,0) x_1 x_2 + \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(0,0) x_2^2\right)$$ das wäre das zu f(x1,x2)

$$e^{x_1-x_2}+e^{x_1-x_2}*x_1+e^{x_1-x_2}*x_2+0,5*(e^{x_1-x_2}*x_1^2-2e^{x_1-x_2}*x_1x_2+e^{x_1-x_2}*x_2^2)$$
das wäre $$e^{x_1-x_2}$$

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Ah ich verstehe. Vielen Dank! :)

$$c_0=-1$$ hatte ich sogar auch, aber ich wusste dann nicht weiter :)