Zeigen Sie, dass P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Omega= ℕ ist

Question

Aufgabe:

P sei folgendermaßen definiert

$$ P:   P(\emptyset)=0$$

      $$   P(A)= \sum_{\omega \in A} (1/2)^{\omega} für \emptyset \neq A \subseteq \Omega$$

Zeigen Sie, dass P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $$\Omega= \mathbb{N}$$ ist

Tipp: Nutzen Sie die folgende Gleichung $$\sum_{k=0}^{\infty} q^k =1/1-q für q<1$$

Problem/Ansatz:

Der Tipp ist ja die geometrische Reihe

Ich muss ja die drei Axiome von Kolmogorov nachweisen oder?

Also P(Omega)=1 Normiertheit z.B.

Answer 1

Der Tipp ist ja die geometrische Reihe
Ich muss ja die drei Axiome von Kolmogorov nachweisen oder?

So ist es. Bedenke, dass hier wohl

\(\mathbb{N}=\{1,2,3,\cdots \}\), also ohne 0, verwendet wird

Comments

Also ist

$$P(\mathbb{N})= \sum_{k=1}^{\infty} (1/2)^k= \sum_{k=0}^{\infty} (1/2)^k-1= (1/1-(1/2)) -1 = 2-1=1$$

ist das richtig?

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Das ist richtig.

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Okay super, das freut mich.

Kann mir jemand bei den anderen beiden Axiomen helfen?

Da komme ich nicht weiter