Eine Verteilungsfunktion \(F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) ist eine rechtsseitig stetige, monoton wachsende Funktion mit
\(\lim\limits_{x\to -\infty} F(x) = 0\)
und
\(\lim\limits_{x\to \infty} F(x) = 1\).
Ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf \((\mathbb{R}, \mathcal{B})\) ist eine Abbildung \(P:\mathcal{B}\to [0, 1]\), die die Kolmogorow-Axiome erfüllt.
"Warum legt eine Verteilungsfunktion ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (R, B) eindeutig fest?"
Gemeint ist: Warum gibt es zu jeder Verteilungsfunktion \(F\) nur ein einziges Wahrscheinlichkeitsmaß \(P\), das
\(P((-\infty,x]) = F(x)\qquad \forall x\in \mathbb{R}\)
erfüllt?
Der Maßerweiterungssatz liefert die Existenz eines geeigneten Wahrscheinlichkeitsmaßes. Die Eindeutigkeit folgt aus dem Maßeindeutigskeitssatz. Zusammengenommen ergibt sich der Korrespondenzsatz.
