Lösung des Anfangswertprobems bestimmen

Question

Aufgabe:

… Die Lösung des Anfangswertproblems soll bestimmt werden.

dy/dx = - 4*y/x²     

y(1) = 7

Problem/Ansatz: Die Lösung davon ist y = 7* e ^4/x-4

…

Wie kommt man zu diesem Ergebnis? Bitte mit Rechenweg :)

Answer 1

stell um und dann steht da

$$(1/-4y)*dy=(1/x^2)*dx$$

Jetzt lös die Integrale

$$-1/4* ln(y) = -1/x +c$$

dann $$ln(y) = 4/x + c$$ (c bleibt mit -1/4 multipliziert eine konstante)

jetzt wenden wir die e funktion an

$$y= e^{4/x+c} = e^{4/x} * c$$ denn e^c ist auch eine Konstante

Jetzt den Anfangswert einsetzen:

$$7=e^4*c$$ dann umstellen nach

$$c= 7/e^4$$

c in die gleichung für y einsetzen liefert:

$$y=e^{(4/x)-4}*7$$ wie gefordert

Answer 2

Hallo,

Berechnung ohne c extra zu berechnen:

Answer 3

dy/dx = - 4y/x^2

Umformen

1/y dy = - 4/x^2 dx

Integrieren

LN(y) =  4/x + c

Nach y auflösen

y = e^(4/x + c)

y = c1·e^(4/x + c2)

Konstanten berechnen

y = c1·e^(4/1 + c2) = 7 → c2 = -4 ; c1 = 7

y = 7·e^(4/x - 4)

Comments

Dankeschön

Aber mit welcher Berechnung kommt man zu den beiden Konstanten?

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c2 kannst du frei wählen. Man wählt c2 so das der Exponent genau 0 wird damit der Faktor c1 ganzzahlig wird.

Einen anderen Weg hat dir ja ramy69 auch vorgemacht.