Zeigen Sie, dass \|·\|L eine Norm auf C(I, ℝn) ist, die äquivalent zur Supremumsnorm ist.

Question

Text erkannt:

(a) (3 Bonuspunkte) Zeigen Sie, dass der Raum
$C\left(I, \mathbb{R}^{n}\right)=\left\{f: I \rightarrow \mathbb{R}^{n}: f \text { ist stetig }\right\}$
versehen mit der Supremumsnorm
$\|f\|_{I}=\sup _{x \in I}\|f(x)\|,$
vollständig ist. (Hinweis: Sie müssen nicht begründen, dass die Supremumsnorm eine Norm ist. Sie dürfen ohne erneuten Beweis benutzen, dass $C(I, \mathbb{R})$ vollständig ist. Das ist eine direkte Verallgemeinerung von Blatt 3, Aufgabe 4. )
(b) (2 Bonuspunkte) Sei $L \in \mathbb{R}$ und $a \in I$. Für $f \in C\left(I, \mathbb{R}^{n}\right)$ sei
$\|f\|_{L}=\sup _{x \in I} e^{-2 L|x-a|}\|f(x)\| .$
Zeigen Sie, dass $\|\cdot\|_{L}$ eine Norm auf $C\left(I, \mathbb{R}^{n}\right)$ ist, die äquivalent zur Supremumsnorm ist. Schließen Sie, dass $C\left(I, \mathbb{R}^{n}\right)$ mit dieser Norm vollständig ist.
(c) (5 Bonuspunkte) Sei
$f: I \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, \quad(x, y) \mapsto f(x, y)$
eine stetige Funktion, die auf $I \times \mathbb{R}^{n}$ einer (globalen) Lipschitz-Bedingung genügt. Zeigen Sie mit Hilfe von Teil (b): Zu jedem Punkt $(a, c) \in I \times \mathbb{R}^{n}$ gibt es eine auf ganz $I$ definierte Lösung $\varphi: I \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ der DGL
$y^{\prime}=f(x, y)$
mit $\varphi(a)=$ c. (Hinweis: Benutzen Sie wie im Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf den Banachschen Fixpunktsatz, aber benutzen Sie die Norm aus Teil (b).)

Alles auf einem kompakten Intervall I

Answer 1

a) Wenn $\{ f_{ n} \}$ eine Cauchyfolge ist, dann gilt wegen des Cauchycriteriums für gleichmässige Konvergenz, das $f _{ n}$ gleichmässig gegen irgendein $f$
konvergiert. Nun überträgt sich Stetigkeit bei gleichmässiger Konvergenz auf den Grenzwert, also ist auch $f$ stetig.

b) Die Funktion $x \mapsto e^{ - 2L \left\lvert x - a\right\rvert }$ ist stetig und somit auf einem kompakten Interval beschränkt.

c) Der Hinweis sagt eigentlich alles.