Die Lösung vom Summenzeichen stimmt nicht mit meiner Rechnung überein (Case sensitivity?)

Question

Aufgabe:

\( \sum \limits_{i=0}^{4} a_{2^{i}} \)=a₁+a₂+a₄+a₈+a₁₆

Problem/Ansatz:

Ich Verstehe nicht, warum das Produkt dieser Summe a*31 ergeben soll.

Wenn ich es ausrechne, würde ich das so machen:

\( \sum \limits_{i=0}^{4} a_{2^{i}} \)=(a*2*0)+(a*2*1)+(a*2*2)+(a*2*3)+(a*2*4)=0+a2+a4+a6+a8=a20

Wenn ich \( \sum \limits_{i=0}^{4} {2i} \) in Wolfram eingebe, kommt er auch mit 20 an.

https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=Sum%5B2*i%2C%7Bi%2C0%2C4%7D%5D

Kann es sein, dass die Größe der Schriftzeichen von i, a und 2 in dem Summenzeichen zu berücksichtigen sind und diese eine Tiefere Bedeutung haben?

(Mir ist aufgefallen, dass die a nach und vor dem = unterschiedlich sind, aber vom Buch waren diese alle das gleichen a)

Comments

Dss ist etwas konfus. Was soll denn das  ‚Produkt dieser Summe‘ bedeuten?

Die a‘s kennt man anscheinend nicht, also kann man sie auch nicht zusammenfassen.

[Die ‚Summe‘ der Indizes (die man eigentlich nicht addieren kann!) ergäbe übrigens gerade die 31 (was aber wie gesagt nicht geht).]

Der Index bei den a‘s ist 2ⁱ und nicht 2*i.

2⁰=1

2¹=2

Etc. also bei den Indizes wird potenziert, nicht multipliziert.

Damit ergibt sich dann genau die Summe wie sie ganz oben steht.

Wie Du auf 2i kommst, ist auch schleierhaft.

Bitte die Aufgabe korrekt und komplett einstellen.

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Ich habe wohl \( \sum \limits_{i=0}^{4} a_{2^{i}} \) als \( \sum \limits_{i=0}^{4} a*2*i_ \) interpretiert, deshalb habe ich das a von meiner Interpretation entfernt um in Wolfram einzugeben und kam deshalb zur i*2(also ohne Variable).

Mit ‚Produkt dieser Summe‘ habe ich das Ergebnis gemeint. Beim plus rechnen sagt man doch auch, dass das Ergebnis ein Produkt ist.

Wieso könne man nicht a₁+a₂+a₄+a₈+a₁₆ zusammenrechnen?

Danke für deine Antwort, damit ist meine Frage eigentlich schon geklärt!

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Beim plus rechnen sagt man doch auch, dass das Ergebnis ein Produkt ist.

Warum heißt das Zeichen \(\sum\) wohl Summenzeichen? Weil das Ergebnis einer Addition eine Summe ist.

Wieso könne man nicht a₁+a₂+a₄+a₈+a₁₆ zusammenrechnen?

Was willst du da zusammenfassen? So wie es da steht, sind das erst einmal nur nummerierte Variablen. Befasse dich bitte ausgiebig mit mathematischer Notation!

Wenn du zum Beispiel weißt, dass \(a_i=3i\) für alle \(i\) gilt, dann könntest du die Variablen natürlich durch die Werte ersetzen und zusammenrechnen. Darüber ist aber keine Information bekannt.

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$$\sum \limits_{i = 0}^{4} a \cdot 2^i \newline = a \cdot \sum \limits_{i = 0}^{4} 2^i \newline = a \cdot (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4) \newline = a \cdot (1 + 2 + 4 + 8 + 16) \newline = a \cdot 31 \newline = \underline{31 \cdot a}$$

Answer 1

\( \displaystyle \sum \limits_{i=0}^{4} \; a \cdot {2^{i}} = \underbrace{1}_ {\normalsize 2^0}a + \underbrace{2}_ {\normalsize 2^1}a + \underbrace{4}_ {\normalsize 2^2}a + \underbrace{8}_ {\normalsize 2^3}a + \underbrace{16}_ {\normalsize 2^4}a = 31a \)

Comments

Gelöscht, weil schon ausführlich erklärt.

Answer 2

Kann es sein, dass die Größe der Schriftzeichen von i, a und 2 in dem Summenzeichen zu berücksichtigen sind und diese eine Tiefere Bedeutung haben?

Ja, haben sie. Kleingestellte Buchstaben oder Zahlen an einer Variablen (was wieder ein Buchstabe ist, hier \(a\)) heißen Index (Plural: Indizes). Man nutzt diese, um Variablen mit dem gleichen Buchstaben zu nummerieren und damit zu unterscheiden oder um eine zusätzliche Eigenschaft oder Besonderheit der Variablen direkt erkennbar zu machen. Dabei kann es sich bei einem Index auch um mehrere Zahl oder - wie in diesem Fall - um einen Term \(2^i\) handeln.

\(a_1\), \(a_{18}\), \(a_{n+2}\) sind schlichte Nummerierungen.

\(A_{\mathrm{Dreieck}}\), \(f_x\), \(E_{\mathrm{kin}}\) sind Beispiele, wo die Variable zusätzlich spezifiziert wird: Fläche eines Dreiecks, Ableitung nach \(x\), kinetische Energie.

Das fehlende Verständnis der mathematischen Notation führte damit offenbar zu einer Fehlinterpretation der Summenberechnung.