Bestimmen Sie den Eigenraum Eig (A, λ) zu jedem Eigenwert λ ∈ Spec(A)!

Question

Text erkannt:

\( A=\left(\begin{array}{cccc}3 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 4 & -1 \\ 2 & -1 & 0 & 0\end{array}\right) \in \mathbb{Q}^{4 \times 4} \)

Bestimmen Sie den Eigenraum Eig (A, λ) zu jedem Eigenwert λ ∈ Spec(A)!

Als charakteristisches Polynom habe ich X^3-6X^2+9X-4 heraus und als Eigenwerte habe ich Spec(A)={1,4} heraus.

Bei der Eigenraumberechnung habe ich jetzt meine Probleme bekommen. Ich habe dann Eig(A,1) = kern(A-λ*Idv) versucht zu berechnen bin jedoch ab ... nicht weiter gekommen:

2v1-v2-v4 = 0
-v1-2v2-3v3-v4 = 0
Ich weiß jetzt nicht was ich als nächstes tun muss und wie ich, dass dann nachher in die richtige Schreibweise bringen muss.

Comments

Das charakteristische Polynom muss doch den Grad 4 haben!

Answer 1

Ich stimme mit keinem Deiner Worte überein ;-)

wie auch Grad 3 char Poly?

https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

Edit:
Wenn DU die App verwenden willst musst Du die über Tripple-Point öffen - die Web-Version (Eingabe) funktioniert z.Z. nicht.

\(\small \left(\lambda - 1 \right)^{2} \; \left(\lambda - 2 \right) \; \left(\lambda - 4 \right) = 0\)

===> \(\small Eigenwerte \, :=  \, \left\{ 1, 2, 4 \right\} \)

===> \(\small DimEigenraum \, :=  \, \left\{ 2, 1, 1 \right\} \)

===> \(\small EV \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}-1&1&1&0\\-2&1&0&0\\1&0&1&1\\0&1&1&0\\\end{array}\right)\)