Aufgabe:
U={(x,y,z,w) ∈ R4 :4x+2x = y - 2w}
Zeigen Sie, dass U ein Unterraum von R4 ist.
Problem/Ansatz:
Ich habe die Aufgabe gelöst bin mir aber mit meiner Lösung unsicher. Ich hoffe ihr könnt meine Lösung bestätigen oder korrigieren und vielleicht sagen wie man es etwas kürzer machen kann. Meine Lösung:
Wegen 4*0+2*0=0-2*0 ist der Nullvektor (0,0,0,0) ∈ U.
Sei u=(x,y,z,w) ∈ U und sei v=(a,b,c,d) ∈ U. Dann ist u+v=(x+a, y+b, z+c, w+d) ∈ U genau dann wenn 4(x+a)+2(z+c)=y+b-2(w+d).
Es ist 4x+4a+2z+2c=y+b-2w+2d = 4(x+a) + 2(z+c) = y+b - 2(w+d). Also ist u+v ∈ U.
Sei λ ∈ R und sei u=(x,y,z,w) ∈ U. Dann ist λu=(λx, λy, λz, λw) ∈ U genau dann wenn 4(λx)+2(λz)=λy-2(λw)
Es ist λ(4x)+λ(2z)=λy-λ(2w) = 4(λx)+2(λz)= λy-2(λw). Also ist λu ∈ U.
Danke!
