Basis bestimmen/ Dimensionsformel/ lineare Abbildung angeben

Question

Aufgabe:

Wir betrachten U:{(x,y,z,w) ∈ R⁴  :4x+2z = y-2w}

i) Zeigen Sie, dass U ein Unterraum von R⁴ ist. (schon erledigt).

ii) Geben Sie eine lineare Abbildung T: R⁴ -> R an, so dass U = Ker(T) gilt.

iii) Bestimmen Sie unter Verwendung der Dimensionsformel für lineare Abbildungen dim(Im(T)) und dim(U).

Hinweis: Sie können benutzen dass T surjektiv ist.

iv) Ist T injektiv? Begründen Sie ihre Antwort.

v) Bestimmen Sie eine Basis von U. Begründen Sie, warum es sich um eine Basis handelt.

Problem/Ansatz:

Die i) ist wie gesagt erledigt.

Für die ii) fehlt mir die Idee wie ich das machen soll.

Bei der iii): dim(U) ist doch 4 wegen R⁴  oder liege ich da falsch? Da T surjektiv ist, muss doch dim(Im(T)) = dim(U) sein oder? Dann würde daraus noch Ker(T)=0 folgen. Hier bin ich mir aber unsicher ob ich wirklich eine Aussage über dim(Im(T)) treffen kann.

Bei der iv) werde ich vermutlich mit dem Ker(T) argumentieren müssen? Also nach der iii) weiß ich ja ob dieser 0 oder nicht 0 ist. Ist er 0 ist T injektiv sonst nicht. korrekt?

Bei der v) bin ich auch noch am Rätseln. Muss ich hier 4 Vektoren angeben sodass die Gleichung jeweils aufgeht? Wenn ich mich nicht täusche muss diese in jedem Fall linear unabhängig sein.

Ich danke euch für eure Unterstützung, ich weiß das sind eine Menga Teilaufgaben.

Answer 1

Tipp: Gehe der Reihenfolge vor in der Aufgabe. Wenn Du Teile nicht hinkriegst, wird es danach nicht besser, weil die in der Regel aufeinander aufbauen.

ii) Jede lineare Abb. kann mithilfe einer Matrix geschrieben werden. Finde also eine 1x4-Matrix A, so dass T(x,y,z,w)=A(x,y,z,w)^T ist und zwar direkt so, dass kern T=U ist. Dazu musst Du nur die Bedingung für U in die Form ...=0 bringen.

iii) Du redest über T, dabei kennst Du es noch nicht. Wird eben in ii) bestimmt. U ist ein Unterraum von R⁴, aber sicher nicht der ganze R⁴, daher ist dim(U)<4. im(T) kann gar nicht R⁴ sein, weil T (siehe ii)) nach R abbildet. Laut Hinweis darf im(T)=R angenommen werden. Damit sollte alles klar sein.

iv) Deine Überlegung ist vollkommen richtig. Gehe die dazu passende vorige Frage von Dir nochmal durch. (Ich warte noch auf Deine Überlegung zu 3x+7)...

v) Jede Basis von U hat genau so viele Elemente wie dim(U) angibt. Es ist nutzlos hier zu spekulieren, bevor Du nicht die vorherigen Aufgabenteile erledigt (und verstanden!) hast.

Comments

Gut dann fangen wir mit ii) an. Also ist hier Ker(T)=0? Weil ich das ja =0 setzen soll. Woher weiß ich das?

Dann mache ich (wie der andere User zeigt): T(x,y,z,w): 4x+2z= y-2w=0. (x,y,z,w) ∈ U.

Also habe ich jetzt mein T mit T(x,y,z,w)=4x+2z=y-2w ?

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In die Form ...=0 bringen ist was anderes als =0 setzen. In die Form T(x)=0 (es soll ja der kern werden) bringt man durch Subtrahieren. In Deinem T(x) steht ja in der Def. ein =-Zeichen, das gibt doch keinen Sinn. Hinter T(x)= kommt stets der Funktionsterm. Siehe ermanus' Antwort.

Und achte genau auf die Begriffe: kern T={0} ist nicht gewünscht, es soll ja kern(T)=U werden.

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Bei der iii) ist es mir auch noch nicht ganz klar. Ok wir hatten nur einen Unterraum, deswegen ist dim(U)<4. Wie siehst du, dass T nach R abbildet? Wann würde es nach R² abbilden? Den Unterschied verstehe ich nicht so recht. Wegen dem Hinweis folgt jetzt dim(Im(T))= R angenommen werden, also =1?

Auch dann fehlt uns ja noch entweder der Kern oder dim(U) wo ich ja nur weiß <4.

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Ok ich orientiere mich bei der ii) an der Schreibweise von ermanus.

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Da steht doch T:R⁴->R, d.h. Definitionsbereich ist R⁴, Wertebereich R. Sieht man ja auch an der Def. in ii). Mach Dir immer (d.h. immer(!!), nicht nur ab und zu) klar, über welche Objekte Du redest: Was für Objekte sind die T(x,y,z,w)? In welchem Raum liegen die?

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Sie liegen im R⁴?

Aber du hast Recht, das konnte ich dir ii) entnehmen.

Kann ich jetzt sagen wegen dim(R⁴) = 4 und dim(Im(T))=1 (wegen surjektivität oder könnte ich das auch so?) folgt dann Ker(T)=3 ?

Dann wäre es für die iv) nicht injektiv. Zu der Frage von gestern ist mir leider keine weitere Belegung eingefallen.

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Sie liegen im R4?

Aber du hast Recht, das konnte ich dir ii) entnehmen.

Du kannst es ii) entnehmen (aber da steht es ja Anforderung formuliert), aber ganz klar der Definition - Du kannst doch einen Vektor von einer Zahl unterscheiden? Und bei einem Vektor sehen, in welchem R^wieviel er liegt?!

Der Rest (Überlegung mit Dim-Satz) stimmt. Surjektiv könnte man auch leicht nachweisen (aber nur, wenn man Deine vorige Frage verstanden hat (die mit dem 3x+7)).

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Ok also nochmal kurz um ganz sicher zu gehen:

Da es surjektiv ist, kann ich dim(Im(T) direkt ablesen. (von T)

Wäre es nicht surektiv, könnte ich erstmal (ich könnte eventuell mit der Methode von gestern zeigen das es surjektiv ist) nichts über dim(Im(T)) sagen.

Die Dimension(U) kann ich immer direkt von T ablesen.

Ist das soweit richtig? Wenn ja würde ich gerne noch zu v) etwas fragen, auch wenn ermanus es schon netterweise vorgezeigt hat.

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(Vorweg: Ich finde es gut dass Du Deine Überlegungen nochmal zum Abgleich zusammenfasst. Sonst festigen sich nachher falsche Ideen.)

Es ist alles richtig, bis auf das letzte: dim(U)=dim(kern(T)) kann man nicht direkt ablesen (und "immer" schon gar nicht). Dazu haben wir ja in der Aufgabe iii) den Dim-Satz bemüht.

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Ok gut.

Dann jetzt noch die v).

Ich verstehe das grundsätzliche Vorgehen von ermanus. Also er setzt jeweils eine Variable auf 1 und setzt dann die anderen so, das die Gleichung korrekt ist. Jedoch die Frage: Wieso setzt er nicht auch y=1? Beispielsweise : (0, 1, 0,5 , 0). Würde ja 1=1 ergeben?

Und wie kann ich sicher sein dass sie linear unabhängig sind? Muss ich das extra prüfen oder kann ich durch das richtige Verfahren gar nicht erst linear unabhängige Vektoren finden?

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Und noch eine Zwischenfrage. Du sagst:

Es ist alles richtig, bis auf das letzte: dim(U)=dim(kern(T)) kann man nicht direkt ablesen (und "immer" schon gar nicht). Dazu haben wir ja in der Aufgabe iii) den Dim-Satz bemüht

Wieso konnten wir hier dim(U)=dim(R⁴)=4 direkt ablesen? Auch wegen der Surjektiviät?

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Das ist seine persönliche Idee (genauso wie die von oswald im LGS in der vorigen Frage). Man kann wählen was man will, Hauptsache man hat drei Vektoren (denn wir wissen ja: dim(U)=3) und sie sind lin. unabh. (dass sie ein Erzeugendensystem bilden, braucht nicht nachgewiesen zu werden, weil wir dim(U)=3 schon wissen und das ist dann bei drei gefundenen lin. unabh. Vektoren erfüllt).

Zur Berechnung: Deine Überlegung, die auf (0,1,0.5,0) führt, ist auch gut. Das ist übrigens \(0.5v_2\) von ermanus. Zum Nachweis von lin. unabh. müsste man jetzt noch zeigen: \(\sum \lambda_iv_i=0 \implies \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0\). Es wäre nicht schlecht, wenn Du dieses LGS einmal hinschreibst - und löst. Dann siehst Du nämlich wie angenehm es ist, dass in den Vektoren so viele Nullen stehen.

Zur Zwischenfrage: dim(U) ist nicht 4, siehe iii). Pass auf, dass Du den Überblick nicht verlierst!

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Nochmal eine blöde Frage, aber woran genau sehen wir nochmal das dim(U)=3?

Wir haben ja dim(R⁴)=4  und dim(Im(T))=1 und somit dim(Ker(T))=3. Aber woher haben wir dim(U)=3?

Und nachdem man die Vektoren gebildet hat, muss man also zwingend nochmal lineare Unabhängigkeit zeigen? Habe ich keine Garantie dafür, wenn ich jeweils eine andere Variable mit 1 belege? Das LGS zu lösen ist dann kein Problem, nur ein wenig Aufwand.

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Ich hoffe ich habe dich mit der Frage nicht verärgert. Du hast es mir bestimmt schon erklärt aber irgendwas ist mir wohl entgangen.

Danke aufjendenfall das du zum wiederholten male so lange versuchst mir die Sachen zu erklären.

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Wir haben doch in ii) U=kern(T) gezeigt, also ist dim U= dim kern(T)=3. Daher achte auf die logische Reihenfolge in der Aufgabe. Die Aufgabenteile bauen aufeinander auf.

Man muss schon lin. unabh. nochmal zeigen. Selbst bei unterschiedlicher Belegung der Variablen mit 1 können Vektoren lin. abh. werden.

Sicher sein kann man nur mit Nachweis durch Lösen des LGS (dieses Lösen kann teilweise durch scharfes Hinsehen geschehen, aber Hinschreiben sollte man es).

Keine Sorge, bin nicht genervt oder so. Finde gut, dass Du hartnäckig dran bleibst. Nur wenn Du es wirklich verstanden hast, hast Du ein solides Fundament (denn es kommen sicher noch schwierigere Aufgaben auf Dich zu).

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Vielen Dank. Jetzt sehe ich es auch! Ich hätte dann eine vermutlich letzte Frage:

Ist es immer so das U=dim(Ker(T)? Sagen wir mal ich habe eine ähnliche Aufgabe, wo es die ii nicht gibt aber ich (z.B. durch die Dimensionsformel) Ker(T)=3 bestimmt habe. Folgt dann dim(U)=3 oder muss das nicht zwingend sein?

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Ich habe mir jetzt doch noch das LGS aufgeschrieben und wollte es lösen. Ich habe von der dritten Zeile die 2 subtrahiert und nun:

1 4 0 0 | 0

0 2 1 0 | 0

0 0 -1 1 | 0

Ich bin verwirrt, da wir ja nur 3 Zeilen haben aber 4 Zahlen pro Zeile plus die 0. Wie soll ich hier weiter machen? Ich brauche ja eine Zahl links = 0 das kann ich hier aber doch gar nicht mehr schaffen oder?

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Du hast es falsch aufgeschrieben. Wir haben drei Vektoren im R⁴ zu kombinieren, nicht vier aus dem R³. Daher nochmal: achte immer auf die Objekte. Dann passieren solche Pannen gar nicht erst und Verständnis stellt sich auch ein.

Und mache es ohne Gauß und Stufenform usw. Schreib das LGS auf und löse es direkt (einfache Gleichung suchen, umstellen, einsetzen usw.).

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Mein Fehler. So müsste es stimmen:

1 0 0 | 0

4 2 2 | 0

0 1 0 | 0

0 0 1 | 0

Aus der 1,3,4 Gleichung folgt doch dann direkt das gewünschte λ1=λ2=λ3=0 und somit linear unabhängig.

Noch eine kurze Rückfrage zu davor:

Ist es immer so das U=dim(Ker(T)? Sagen wir mal ich habe eine ähnliche Aufgabe, wo es die ii nicht gibt aber ich (z.B. durch die Dimensionsformel) Ker(T)=3 bestimmt habe. Folgt dann dim(U)=3 oder muss das nicht zwingend sein?

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Du machst viele "wenn"'s, und manches würde sich klären, wenn du das spekulative hinschreibst.

Wenn ii) fehlt, merkst du, dass es keinen Zusammenhang zwischen U und T mehr gibt. Wenn es den Zusammenhang nicht gibt, kann natürlich nichts von U zu T oder umgekehrt geschlossen werden.

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Mhh ok. Danke erstmal. Ich werde mir morgen die Aufgabe nochmal in Ruhe ansehen, wenn was ist melde ich mich nochmal.

Answer 2

Zu ii)

\(T(x,y,z,w)=4x-y+2z+2w\).

\((x,y,z,w)\in \ker(T)\iff 4x-y+2z+2w=0\iff \)

\(4x+2z=y-2w\iff (x,y,z,w)\in U\).

Zu v)

Für die Elemente aus \(U\) gilt

\(y=4x+2z+2w\) nun setze

\(x=1, z=0, w=0\) und \(x=0, z=1, w=0\)

und \(x=0,z=0,w=1\). Dann bekommst du die

drei linear unabhängigen Vektoren

\(v_1=(1,4,0,0), \; v_2=(0,2,1,0),\; v_3=(0,2,0,1)\).

Diese bilden eine Basis von \(U\).