Riemann -Integral Aufgabe

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Seien $a, b \in \mathbb{R}, a<b$, sowie eine stetige Funktion $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ gegeben. Beweisen Sie die folgende Aussage: Falls für alle stetigen Funktionen $g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ mit $g(a)=g(b)=0$ gilt dass $\int \limits_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$, dann ist $f(x)=0$ für alle $x \in[a, b]$.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Sei $f(x)\neq 0$ für ein $x\in [a,b]$.

Sei $x_0\in (a,b)$ mit o.B.d.A. $f(x_0) > 0$.

Seien $x_1,x_2 \in (a,b)$ mit $x_1 < x_0 < x_2$ und $f(x) > 0$ für alle $x \in \left[x_1,x_2\right]$.

Sei $g:[a,b]\to \mathbb{R}$ mit

    $g(x) = \begin{cases}\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)&x\in \left[x_1,x_2\right]\\0&\text{sonst.}\end{cases}$

Dann ist $\int \limits_{a}^{b} f(x) g(x)\,\mathrm{d} x\neq 0$.

Comments

Oder g = f* (x-a)*(b-x)

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Funktionssymbole die nicht verraten, auf welche Variable(n) sie sich beziehen, haben keinen Sinn.

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Das Kommentar macht null Sinn. Was wollen sie uns mitteilen ?