Jordannormalform anhand von Eigenschaften bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei V ein 6-dimensionaler C-Vektorraum und F : V → V
linear, mit charakteristischem Polynom
det(F − t id_V ) = t⁴ (t² − 2it − 1).
Ferner sei bekannt, dass
dim(Bild(F³)) = 3 und dim(Ker(F − i id_V )) = 1.
Entscheiden Sie, ob wir daraus die Jordannormalform von F ablesen können.
Falls ja, erklären Sie kurz, wie Sie die Jordannormalform aus diesen Angaben
ablesen können. Falls nein, erklären Sie welche Jordannormalformen möglich sind
und welche Information Sie für ein konkretes F zus

Problem/Ansatz:

Ich habe Probleme mit C (komplexe Zahlen) Ich hätte jetzt (t² -2it -1) zu (t-i)² umgeformt. Sprich die Eigenwerte sind i und 0 mit alg. VF 2 und 4.

Aus dim(Ker(F − i idV )) = 1 folgere ich, dass nur ein Jordankästchen im Block  zum EW i gibt und die Länge 2 haben muss.

dim(Bild(F3)) = 3 sagt mir nichts. Ich könnte höchstens mit dem Dimensionssatz argumentieren, dass dim(v)-dim(Bild(F3))=dim(Ker(A - 0 id_V) ist. Also gibt es 3 Kästchen zum EW 0.

Ab hier kann ich keine weiteren Aussagen treffen. Ob 2 1er und 1 2er Kästchen oder 2 2er Kästchen weiß ich nicht. Dafür müsste ich die Haupträume ausrechnen und schauen, ab welcher Potenz ker(F- 0 id_V )ⁿ=V ist.

Übersehe ich etwas? Vielen Dank schon mal.

Comments

Meines Erachtens müsste die JNF so\(\,\left(\begin{array}{cccc|cc}0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\hline0&0&0&0&\mathrm i&1\\0&0&0&0&0&\mathrm i\end{array}\right)\) aussehen.

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Hallo Arsinoé4. Danke für deine Antwort, aber könntest du mir erklären, woher du weißt, dass der Block zum Eigenwert 0 die Länge 4 hat?

Vielen Dank schon mal.

Answer 1

(λ - t_j)^n_j  

algebraische Vielfachheit n_j = Länge des Jordanblocks zu t_i

Nach dem Du noch nicht weiter gekommen bist ein Hinweis

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/cbrraju7

da findest Du "Kochen mit Jordan" das weiterhelfen könnte.

Ich bin mir nicht ganz sicher ob aus dim(Bild(F3))=3 auch dim(Ker(F3))=3 folgt. Dann hätte das größte Kästchen im Block t=0 die Länge 3 und man müsste in dem Vorschlag von Arsinoé4 eine 1 aus der Nebendiagonale wegnehmen?

Comments

Hallo Wächter,

danke für deine Antwort und den Link. Dieser hat mich zu folgendem weitergeleitet:

Text erkannt:

Es gilt:
- Anzahl der Kästchen der Größe \( 1 \times 1: 2 \cdot a_{1}-a_{0}-a_{2} \)
- Anzahl der Kästchen der Größe \( 2 \times 2: 2 \cdot a_{2}-a_{1}-a_{3} \)
- Anzahl der Kästchen der Größe \( 3 \times 3: 2 \cdot a_{3}-a_{2}-a_{4} \)
- Anzahl der Kästchen der Größe \( i \times i: 2 \cdot a_{i}-a_{i-1}-a_{i+1} \)

Dimensionsformel: F³ ist linear, da Komposition von F und F³: V → V

dim V = dim(Bild(F³))+dim((Ker(F³)) <=>  dim(Bild(Ker(F³)) =dim V- dim(Bild((F³)) =6-3=3

Da die Dimensionen der Haupträume monoton wachsen, die algebraische VF jedoch 4 ist, muss dim(Ker(F⁴))=4=dim(Ker(F⁵)) sein.

Die Anzahl der Kästchen mit der Größe 4 ist also: 2*4-3-4=8-7=1. Also sieht die JNF wie bei Arsinoé aus.