Doppel-Integral mit Funktion als Intervallgrenze

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Integral
\( \iint_{A} f(x, y) \mathrm{d}(x, y) \)
für die angegebenen Abbildungen und Integrationsbereiche:
\( A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 4 x^{2}+y<4\right\} \) und \( f(x, y)=y^{2} \).

Problem/Ansatz:

Welchen Weg gibt es hier, um die Integrationsintervallgrenzen x&y zu berechnen ?

Idee: Nullstellen der Funktion \( 4 x^{2}+y<4 \) nach x oder wenn das mal in einer anderen Aufgabe nicht geht, dann nach y. Im besten Fall findet man so beide Integrationsgrenzen und wenn man nur eine findet, wie hier -1≤x≤1, dann nimmt man im Doppelintegral die x-Werte als Grenzen außen und die Funktion nach y umgestellt als Grenze. Aber dann weiß ich nicht, wie das mit dem Ungleich als Grenze funktioniert und wie die zweite Grenze des inneren Integrals ist.
Also, wie würdet ihr da ran gehen? Am besten ohne aufmalen, sondern mit Rechnung, falls schwierigere Funktionen als Intervalleinschränkung in der Klausur ran kommen.

Vielen Dank für eure Antworten :)

Comments

Vertippt?

Wenn 4x²+y < 4 sein soll gilt einfach

y < 4 - 4x²

Das heißt man muss über x von -∞ bis ∞ und über y von -∞ bis 4 - 4x² integrieren.

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Ne nicht vertippt, aber genau das ist hilfreich. Ist nur die Frage, wie ich man über die unendlichen Integralgrenzen integriert.

Ich Google Mal.

Aber gibt es denn keine andere Methode (siehe meine Idee), um die Intervallgrenzen als feste Zahl zu errechnen ?

Dank schon mal

Answer 1

Aloha :)

Zur Integration kannst du die Punktmenge$$A=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,4x^2+y<4\}$$etwas anders beschreiben. Ohne \(y\) lautet die Forderung \(4x^2<4\). Daher können wir \(x\in(-1;1)\) frei wählen. Haben wir das \(x\) beliebig aber fest gewählt, muss für die Wahl von \(y\) noch \(y<4-4x^2\) gelten. Damit kannst du das gesuchte Integral formulieren:$$I=\iint\limits_Af(x;y)\,d(x;y)=\int\limits_{x=-1}^1\;\,\int\limits_{y=-\infty}^{4-x^2}y^2\,dy\,dx$$

Das Problem ist nur, dass das Integral nicht konvergiert. Hast du die Bedingung richtig angegeben oder gibt es noch eine weitere Bedingung?

Comments

Ich weiß nicht, wie Du auf die Einschränkung für x kommst. Der Punkt (2,-20) gehört auch zu A!?

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Hey, ja das war die komplette Aufgabe. Ich denke, dass die untere Grenze für y 0 ist, da man sonst das Volumen über der x-Achse ja sonst von dem unter der x-Achse abzieht.

Oder andere Version. Das Volumen wird weiter durch f(x;y)=y^2 beschränkt

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Das macht doch keinen Sinn, hier rumzuraten. Frag die aufgabenstellende Person, ob das so gemeint war, dass das Integral nicht existiert