Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt dies pro Monat ein?

Question

20231004_175002.jpg




Aufgabe:

Text erkannt:

Beispiel: Schlafmütze
Ein junger Mann tendiert zum späten Aufstehen am Morgen. Auf dem Weg zum Bus muss er also ordentlich hetzen. Manchmal versäumt er den Bus. Das passiert im Durchschnitt an 4 von 24 Arbeitstagen.
Mit seinem Chef bekommt er richtig Ärger, wenn er an zwei oder mehr aufeinanderfolgenden Arbeitstagen eines Monats zu spät kommt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt dies pro Monat ein?
Lösung:
Die Wahrscheinlichkeit für eine Verspätung beträgt \( \mathrm{p}=\frac{1}{6} \). Daher eignet sich ein Würfel gut für diese Simulation. Die Augenzahl 6 soll für die Verspätung stehen.
Ein Monat hat 24 Arbeitstage. Wir würfeln also 24-mal und wiederholen diese Simulation 10-mal. Die Ergebnisse stehen rechts.
Wir finden in 5 der 10 Simulationen Doppelsechsen (rot). Es gibt in ca. \( 50 \% \) der Monate mindestens eine Doppelverspätung. Dieses Ergebnis stimmt aber nur ungefähr, da das Gesetz der großen Zahlen bei 10 Wiederholungen noch nicht richtig greift. Man bräuchte ca. 100 Wiederholungen. Der reale Wert* für mindestens eine DopSimulation:
\( \begin{array}{lc}\text { Würfelergebnisse: } & \text { Doppel: } \\ 534111162264244445416621 & \text { ja } \\ 651311244221626533646453 & \text { nein } \\ 351331632464365314515414 & \text { nein } \\ 166125241163645364234566 & \text { ja } \\ 364153451636236615153621 & \text { ja } \\ 456364534111466363156341 & \text { ja } \\ 252166352645434125151133 & \text { ja } \\ 261233226124224363446146 & \text { nein } \\ 462352533511635165312564 & \text { nein } \\ 465554325532254553643562 & \text { nein }\end{array} \)
Resultat:
\( \mathrm{P} \) (Monat mit Doppelverspätung) \( \approx 50 \% \) pelverspätung liegt übrigens bei ca. \( 43 \% \).
*Gewonnen durch Simulation mit einem Computerprogramm, 1000 Wiederholungen

…


Problem/Ansatz: könnte mur jemand den rechenweg erklären? Das verstehe ich nicht:)
…
…


Problem/Ansatz: könnte mur jemand den rechenweg erklären? Das verstehe ich nicht:)
…

Comments

Wäre ich da Chef, so würde ich mir weitere Rechnungen ganz einfach sparen ! Soll der Kerl was anderes suchen, wenn er nicht pünktlich sein kann .....

---

Er kann 2 bis 24-mal hintereinander zu spät kommen.

Die Aufgabe dürfte sehr aufwändig sein.

Vlt. geht es mit dem Gegerereignis leichter.

Oder lese ich die Angabe falsch?

Answer 1

Könnte mur jemand den Rechenweg erklären? Das verstehe ich nicht:)

Das ist ein Beispiel, die dazu gehörenden Überlegungen, Rechnungen oder was auch immer werden dabei jeweils mitgeliefert.

Hier werden die Simulationsergebnisse bei zehn Wiederholungen einer Simulation aufgelistet. Sie lauten (ja, nein, nein, ja, ja, ja, ja, nein, nein, nein}. Also 5 von 10 gleich 50% "ja". Steht aber eigentlich auch im Beispiel selbst.

Comments

Und wie kommt man dann auf die Gesamtlösung?
Die vorgegebene Lösung ist nicht die Lösung.

---

Steht auch da:

*Gewonnen durch Simulation mit einem Computerprogramm, 1000 Wiederholungen

Es stellt sich die Frage, wie man dieses Ergebnis ohne Simulation bekommt.

---

Die WKTen aller Möglichkeiten addieren. Aber wie kommt man am schnellsten auf diese?

Answer 2

Es ist zwar in dem Text nicht gefragt, aber eine exakte Lösung könnte so aussehen. Wir berechnen die Wkt für das Gegenereignis: 24 Würfelwürfe, wobei keine 2 sechsen nebeneinander stehen.

Wieviele Möglichkeiten gibt es k mal 6 zu haben: Wir wählen eine 24-k-Liste aus  Zahlen von 1 bis 5, Anzahl \(5^{24-k}\). Dann wählen wir k Plätze aus - links von der Liste, in den Zwischenräumen, rechts von der Liste -, Anzahl der Plätze: 24-k+1. Dort setzen wir eine 6. Das geht nur, wenn \(25-k \geq k\) ist also \(k \leq 12\). Also

$$1-\frac{1}{6^{24}}\sum_{k=0}^{12}5^{24-k}{25-k \choose k}\approx 0.434$$