Folgende Aussagen zur Maßtheorie (Analysis) zeigen:

Question

Aufgabe:

Es sei $\mathcal{H} \subset \mathcal{P}\left(\mathbb{R}^{N}\right)$ ein Halbring, $\tilde{\mu}: \mathcal{H} \rightarrow[0, \infty]$ ein Inhalt und $\mu$ das zugehörige äußere Maß. Zeigen Sie:

a) Zu jedem $A \subset \mathbb{R}^{N}$ gibt es ein $C \in \sigma(\mathcal{H})$ mit $A \subset C$ und $\tilde{\mu}(A)=\tilde{\mu}(C)$.
b) Für alle $A, B \subset \mathbb{R}^{N}$ ist $\mu(A \cup B)+\mu(A \cap B) \leq \mu(A)+\mu(B)$. Es gilt Gleichheit, falls $A \in \mathcal{A}_{\mu}$ oder $B \in \mathcal{A}_{\mu}$.
c) Seien $M, N \subset \mathbb{R}^{N}$ und es gebe $A, B \in \mathcal{A}_{\mu}$ mit $M \subset A, N \subset B$ und $\mu(A \cap B)=0$. Dann ist $\mu(M \cup N)=\mu(M)+\mu(N)$.

Problem/Ansatz:

Wie könnte man Teilaufgabe a) anschaulich zeigen?

Zu b) und c) hätte ich mir bereits folgendes überlegt - bleibt die frage, ob das so stimmt ☺!?

b)

$\begin{array}{l}\text { Sei } C=A-B \text { und } D=B-A, C \cup B=A \cup D= \\ A \cup B, C \subset A \text { und } D \subset B \\ \begin{aligned} \mu(A \cup B)+\mu(A \cap B) & =\mu(C \cup B)+\mu(A \cap B) \\ & =\mu(C)+\mu(B)+\mu(A \cap B) \\ & =\mu(B)+\mu(C \cup(A \cap B)) \\ & =\mu(B)+\mu((C \cup A) n(C \cup B)) \\ & =\mu(B)+\mu(A n(A \cup D)) \\ & =\mu(B)+\mu(A)=\operatorname{da} A \subset A \cup D \\ & =\mu(A)+\mu(B)\end{aligned}\end{array}$

c)

$\begin{aligned} \mu(M \cup N) & =\mu((A \cup B) \cap \bar{A}))+\mu((A \cup B \backslash \bar{A})) \\ & =\mu((A \cap \bar{A})) \cup(B \cap \bar{A}))+ \\ & \mu((A \backslash \bar{A})) \cup(B \backslash \bar{A})) \\ & =\mu(A \cup \varnothing)+\mu(\varnothing \cup B) \\ & =\mu(A)+\mu(B)\end{aligned}$

Comments

Würden meine Überlegungen für b) und c) so passen?????

Bei a) ist mir in der Angabe ein kleiner Fehler passiert - da würde ich gerne folgendes zeigen:

Zu jedem $A \subset \mathbb{R}^{N}$ gibt es ein $C \in \sigma(\mathcal{H})$ mit $A \subset C$ und $\mu(A)=\mu(C)$.

 --> wie könnte man das anschaulich machen?

---

c) Habe ich noch mal überarbeitet:

$\begin{aligned} \mu^{*}(M \cup N) & \left.=\mu^{*}((M \cup N) \cap A)+\mu^{*}(M \cup N) \cap A^{c}\right)= \\ & =\mu^{*}(M \cup(N \cap A))+\mu^{*}\left(N \cap A^{c}\right)= \\ & =\mu^{*}(M \cup(N \cap A))+\mu^{*}(N \backslash(N \cap A))= \\ & =\mu^{*}(M)+\mu^{*}(N)\end{aligned}$

Wäre es richtig b) und c) so zu zeigen und wie könnte man a9 beweisen?