Folgt aus der linearen Unabhängigkeit von u und v eines K-Vektorraumes auch jene von u-v und u+v?

Question

Aufgabe:

Folgt aus der linearen Unabhängigkeit von \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) eines K-Vektorraumes auch jene von \( \vec{u} \) - \( \vec{v} \) und \( \vec{u} \) +\( \vec{v} \) ?

Problem/Ansatz:

Ich bin folgendermaßen vorgegangen:

lineare Unabhängigkeit: a·(\( \vec{u} \) - \( \vec{v} \) ) + b·(\( \vec{u} \) +\( \vec{v} \)) = 0   a,b ∈ K

--> (a+b)·\( \vec{u} \) + (a-b)·\( \vec{v} \) = 0

Meine Frage lautet nun, wie kann ich feststellen, ob \( \vec{u} \) - \( \vec{v} \) und \( \vec{u} \) +\( \vec{v} \) nun linear unabhängig sind oder nicht?

Answer 1

Hallo,

 \((a+b)\cdot \vec{u}  + (a-b)\cdot \vec{v}=\vec o \)

 \(\Rightarrow a+b=0 ~;~ a-b=0 \\ \Rightarrow a=b \Rightarrow 2a=0 \Rightarrow a=0~;~ b=0 \)

Answer 2

Soweit gut. Da u und v linear unabhängig sind, müssen die Koeffizienten in einer Linearkombination von u und v, die 0 ergibt, beide 0 sein. Damit kannst Du a,b bestimmen und daraus Schlüsse ziehen.