Beweis Mengengleichung f^-1

Question

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Aufgabe:

f^-1(D ∩ E) = f^-1(D) ∩ f^-1(E)

Diese Aussage muss bewiesen werden

Problem/Ansatz:

Bei analogen Aufgaben, wo jedoch nicht das Urbild enthalten war, habe ich den Ansatz gewählt, das f(bspw. A) ein Element y enthalten muss, und somit A ein x enthalten muss welches f(x)=y definiert. Hier habe ich aber wie gesagt f^-1 und ich bin leider völlig steckengeblieben. Für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

Wegen \(D\cap E\subseteq D\) ist \(f^{-1}(D\cap E)\subseteq f^{-1}(D)\).

Wegen \(D\cap E\subseteq E\) ist \(f^{-1}(D\cap E)\subseteq f^{-1}(E)\).

Also ist

        \(f^{-1}(D\cap E)\subseteq f^{-1}(D)\cap f^{-1}(E)\).

Sei \(x\in f^{-1}(D)\cap f^{-1}(E)\). Begründe warum \(x\in f^{-1}(D\cap E)\) ist. Daraus folgt dann

        \(f^{-1}(D)\cap f^{-1}(E) \subseteq f^{-1}(D\cap E)\).