Teleskopsummen und Fakultäten

Question

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Aufgabe H 2. Teleskopsummen
Berechnen Sie
(a) \( \sum \limits_{n=-4}^{4} 35 \cdot 6^{2 n} \).
(b) \( \sum \limits_{k=1}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \frac{n+1}{\sqrt{k+1}}-\sqrt{k}\left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right) \).

Berechnen Sie (b) für \( n=143 \).

Aufgabe:

Hallo Leute,

ich verstehe nicht, wie ich die Aufgabe 2b zu lösen habe. Ich vermute, dass ich für die n-Stellen direkt die 143 einsetze und k Stück für Stück Richtung 143 laufen lasse. Jedoch muss das ohne TR gelöst werden, was das ganze erschwert. Wie kann ich das kürzen oder einfach lösen?

Answer 1

Aloha :)

Der Aufgabensteller hat die Klammerung unter der Summe vergessen.$$S=\sum\limits_{k=1}^n\left(\binom{n}{k}\frac{n+1}{\sqrt{k+1}}-\sqrt k\binom{n+1}{k}\right)$$$$\phantom S=\sum\limits_{k=1}^n\binom{n}{k}\frac{n+1}{\sqrt{k+1}}-\sum\limits_{k=1}^n\sqrt k\binom{n+1}{k}$$$$\phantom S=\sum\limits_{k=1}^n\sqrt{k+1}\binom{n}{k}\frac{n+1}{k+1}-\sum\limits_{k=1}^n\sqrt k\binom{n+1}{k}$$$$\phantom S=\sum\limits_{k=1}^n\sqrt{k+1}\binom{n+1}{k+1}-\sum\limits_{k=1}^n\sqrt k\binom{n+1}{k}$$$$\phantom S=\sum\limits_{k=1}^n\sqrt{k+1}\binom{n+1}{k+1}-\sum\limits_{k=0}^{n-1}\sqrt{k+1}\binom{n+1}{k+1}$$$$\phantom S=\left(\sqrt{n+1}\binom{n+1}{n+1}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\sqrt{k+1}\binom{n+1}{k+1}\right)-\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1}\sqrt{k+1}\binom{n+1}{k+1}+\binom{n+1}{0+1}\right)$$$$\phantom S=\sqrt{n+1}-(n+1)$$

Answer 2

Bevor du für n den Wert 143 einsetzt, solltest du b) erst mal allgemein lösen.

Um die Teleskopsumme zu erkennenn, könntest du b) mal am Beispiel n=3 mit

  \( \sum \limits_{k=1}^{3}\left(\begin{array}{l}3 \\ k\end{array}\right) \frac{3+1}{\sqrt{k+1}}-\sqrt{k}\left(\begin{array}{c}3+1 \\ k\end{array}\right) \) konkret summandenweise aufschreiben.

Comments

wie gehe ich danach vor?

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Falsche Frage.

Ich deute sie mal so, dass du das Ganze bin jetzt nicht als

 \( 3 \cdot\frac{4}{\sqrt{2}}-\sqrt{1}\cdot 4\)   +    \( 3 \cdot\frac{4}{\sqrt{3}}-\sqrt{2}\cdot 6\)   +  \( 1\cdot\frac{4}{\sqrt{4}}-\sqrt{3}\cdot 4\)

geschrieben hast.

Von diesen 6 Summanden heben sich übrigens 4 gegenseitig auf.

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Zu erkennen, welche das sind, ist ein erster Schritt.

Wenn das Prinzip noch nicht vollständig erkannt wird, wiederhole das Ganze unter Verwendung von n=4 mit den sich ergebenden 8 Summanden. Ohne, dass ich das jetzt gemacht habe: Ich prognostiziere, dass sich 6 der 8 Summanden aufheben.

Answer 3

Da das Thema Teleskopsummen ist, sollte also (b) zunächst in eine Teleskopsumme verwandelt werden. Das heißt, wir wollen

$$\binom nk \frac{n+1}{\sqrt{k+1}}- \sqrt{k}\binom{n+1}k = a_{k+1}^{(n)} - a_k^{(n)}$$

Schreibe dazu zum Beispiel die Binomialkoeffizienten aus und schau dir an, wie du geeignet \(a_k^{(n)}\) wählen kannst:

$$\binom nk \frac{n+1}{\sqrt{k+1}}- \sqrt{k}\binom{n+1}k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{n+1}{\sqrt{k+1}} - \sqrt{k} \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}$$

$$\stackrel{n+1-k = n-(k-1)}{=}(n+1)\left(\frac 1{\sqrt{k+1}}\frac{n!}{k!(n-k)!} - \frac 1{\sqrt{k}}\frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!}\right)$$

Damit können wir wählen:

$$a_k^{(n)} = (n+1)\frac 1{\sqrt{k}}\binom{n}{k-1}$$

Die gesuchte Summe \(S_n\) ist somit

$$S_n = \sum_{k=1}^n (a_{k+1}^{(n)} - a_k^{(n)}) = a_{n+1}^{(n)} - a_1^{(n)}$$

$$= (n+1)\left(\frac 1{\sqrt{n+1}}\binom{n}{n} - \frac 1{\sqrt{1}}\binom{n}{0}\right) = \sqrt{n+1}-(n+1)$$

Damit erhältst du

$$S_{143} = \sqrt{144}- 144 = -132$$